TA的每日心情 | 奋斗
2021-5-1 20:26 |
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2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题发布：无体力赛题下载地址：www.tzmcm.cn
4 }% s9 v0 [6 q2 }$ z% @; U0 k2 v* w( |7 n7 P1 L6 k, k
4 M7 Y* n; k" {/ J3 [% Z, q6 @) z' h: {9 L" g( I
A题 安全的后视镜
. b7 j. m$ _" w" L! c2 z5 `8 Z+ M汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有
9 r7 D5 D3 o3 k. O- E) o6 t- J& K良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视. N8 A: y. I6 J3 u1 P& Z' d" \
镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.
& Y. X3 A! T L K0 a1 @6 K7 Z+ n如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.: G" R/ x/ ^) D% R
但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面
9 C' |5 o8 C5 p2 `5 U获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的6 K- o6 [8 K& ]7 `8 m& Q4 }/ n; l& y
距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.; D. \4 q% ?- U/ J
但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构9 o! H- ?: X8 z8 s) D1 I
造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距/ |4 j/ a% v2 y3 \" {( V: G4 ?
离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一
, ?0 _ N; |$ y0 X3 g/ Q种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了
7 J' N9 n5 P' `, K t" ?1 V平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线
- s3 C2 j) U# x3 P, R2 O" W或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性
1 d1 m: N7 y6 \- B0 s/ x0 Z能也会有所不同.8 ^" r+ ?/ ?4 } \( L$ X8 K' [
第一阶段问题： 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的' V( ]' j: J0 H& ] u$ g7 O
外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都: B" j$ m8 a0 M; }0 H3 f
设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜. L$ l; ? W" D" S2 h
给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一
8 i7 C5 O+ i* u( Y6 Q, C8 O3 }种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有+ }' t: d; S' V f6 I
的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相
+ N" p8 T1 J: N& W& x应的国家标准.2 f! c* \7 E5 ?: Q9 Z/ O9 {* K# j! l
1
1 |. |2 e5 O( d0 p& B( j' U# u图 1: 变曲率后视镜的例子* D# D) L, n4 i* B' P
5 m- z3 m. l' J5 k
, X/ K; R( Q7 X3 j* Z( Q' e- Q
B题 岁月的印记
# ?9 w8 z) g8 b+ T3 Z2 P# k' ^9 @ r对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经
9 a. O( Y* D) b5 L- M! K, r历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨/ e8 N/ v& f, O" }+ g. y
出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起+ N1 s1 y; a* A/ S) k% W0 U) X! H
来也就越困难.( B! Z5 a; T; R
第一阶段问题： 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面1 i; [& }% Y x% x5 @( q6 s$ q$ o) ~4 l
部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以
4 A( i1 s# ?, |假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.# R6 [; L2 j* A; M
# S5 a; g. ^# N
( `9 D( g2 x- \7 p# o' w2 u* YC题 移动端考研产品的春天真的到来了吗？
2 M/ ^& b6 v' u2 I# h2 W/ B2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加，比去年增加" c9 X {" M7 a3 n3 g+ k- y& l$ w
了 24 万名考生，增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来，而考研教. @# n6 c& ]$ R/ N8 U4 f- S I) q' D6 p
学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来，使得许多考* e0 R; H' V& k
研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中，纷纷% R. U, z) g- v9 U) i3 X
涌现了依托于移动互联网的产品，如教学 app，手机题库，单词本，错题本或
. H& V. c1 ~) l) a! U依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端
! j% e, R+ }( T6 K; D1 D% M9 y/ S5 N更高，使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的
' v+ S$ o$ [2 b# X市场占有率和发展趋势，开展了网上问卷调查，问卷格式如附件 1 所示。共收
, L& u6 K- _% ~2 L! F2 p集有效问卷 38182 份，我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请3 ]: R1 p5 f* x+ x
你建立合理的数学模型解决如下问题。& T6 w& Z; S- {9 i
第一阶段问题：
1 g$ Q7 Y9 ^% B% E6 O! R: g1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘，找出影响移动端考研产品发展
, h, g( f0 a4 P4 D的主要因素。" T1 y W! w5 P' |+ W5 v& u) L% W
2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间，预测移动端考研产品的潜在
; ~- Z" s6 p2 h! C4 W+ l. B# v: d市场占有率。
- p2 f% c/ M. x& V6 w. |7 r; U3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象，充分考虑经济、社会2 e* ^' {9 O+ w0 H, g& H4 u
情况和考研教育的特点，评价移动端考研产品投放的可行性。
$ h2 h) e- B: g j* R2 o% u+ u9 W$ _ w
D题 教室的合理设计9 ?* ?: r; E- r* n: I
（本题仅限中学组和专科组选用）) l) C- }/ b* S$ f3 n+ @
某培训机构租用了一块如图一所示的场地，由于该机构开设了多种门类* i. H) R% J8 e7 a7 V, n6 x% u. X
的课程，所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和) e. I$ ]* Y' e' ~' f! n/ j
活动区。请你建立有效的数学模型，为该机构完成合理的教室设计。对设计7 e( I4 e3 B% _. E
分别提出了三项要求，分列在下面的问题中。
6 G# V/ _' h3 k$ P& T# e第一阶段问题：
9 c, c4 ]" F/ `+ J7 u1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室，2 个能容纳至少 4 个
i( f/ L- p; w4 }5 M2 c8 L- G座位的接待室，不少于 10 平方米的储物空间，不少于 10 平方米的休息区，不4 P* V1 v# G, r
少于 5 平方米的前台接待区。教室之间，教室与接待室之间的出入不能相互
9 X5 ^4 Q+ n& ~1 i2 ?8 P. V! g* ]影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米，每个教室的第一排和黑板之! \# D4 w4 Q, @3 L: b
间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见，在
2 q4 l# M# Y, u! q设计中可以忽略墙占用的面积。' r. {" e3 j4 [0 {
2. 在要求 1 的基础之上，考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。8 X7 m5 b$ s0 G
3. 在要求 1 的基础之上，考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教1 M# c. o& p, A1 q
室。6 k" f6 U( [# Q9 h+ [% N, s
6 o: J- M( Q" i
: k. P& i. E" m* E9 D, U; l4 p2 y6 F, T/ B# X" L
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狗仔卡
发表于 2017-4-14 07:43
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发表于 2021-5-28 10:48
