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2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题发布：无体力赛题下载地址：www.tzmcm.cn9 A2 Z! g [2 S7 ?1 L) v5 n, _. l
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9 Y% F! h0 k: _3 n( x* e& X+ g! c9 O$ j- H; d4 Q; p( u4 e
A题 安全的后视镜" G" k5 x `. `" e
汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有
0 {+ ?( U+ c( ^& ?$ k" t良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视$ A3 k5 p! p+ Q0 O5 ^6 w- [# {
镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.
' u/ U# B) |0 d$ s: z如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.
! l V$ w1 e9 q9 A- S3 c' d但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面
, ?4 G' J: f8 }' _5 ]5 C获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的
$ s* ]3 p. T7 a距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.1 ^: C+ k5 R6 Y5 I+ A' f
但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构
( @; w1 S! Z9 L5 N: R9 l; T造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距
; b4 t+ r& M# {, I5 A5 m1 H# v( ~离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一. I, k+ v% c; _# ^% o
种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了: I7 N( l, @9 [
平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线
; B* {9 W. x6 l* m# N或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性6 @0 V3 D; m0 i
能也会有所不同.+ f' l) y0 ^# p8 P) n
第一阶段问题： 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的- X' Q# v, \' j! d8 w: r# A( I$ e4 C
外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都; V8 @% P/ I! e* v
设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜& M( x& `" m6 E* W8 h! Y- \
给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一
' @2 Z4 e3 S9 Y种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有
9 p4 c; B9 H, O; W, M0 [ `的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相
( I: j' M$ D/ ~/ K0 E$ n6 j应的国家标准.
6 {9 {7 ]: S% l1 y9 H" ^9 m+ U1
' G6 `( P2 Z+ g6 J图 1: 变曲率后视镜的例子* P: j. v* m3 X5 N7 l' N2 S
: C- B* _$ s& J- d1 E% p& I
/ d& V7 R0 q" p: O( Q# iB题 岁月的印记& }: V8 w5 G; @0 t& ]" ^
对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经7 y& z. W7 n0 h+ U( j' `% H, D
历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨& Y& ^6 V' u7 g1 i# k2 V2 L
出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起9 ~/ } ^% ]* x4 ?: v, W
来也就越困难.% z+ G6 V$ O# J. y$ t
第一阶段问题： 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面
3 T$ `4 Z6 ]9 I: S+ N, u部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以
2 ~% H" O9 u2 D6 ?假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.
, A' `! q* Q ~# }% j( [7 ]3 x. m8 ]6 O+ F! R
2 b; @) L% a; B( {2 TC题 移动端考研产品的春天真的到来了吗？: A& \4 l$ V _* Q4 u! _. [4 B
2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加，比去年增加& C3 w/ R) j& m2 _& C' H
了 24 万名考生，增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来，而考研教% F3 w7 ~/ s M$ t D+ M9 D
学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来，使得许多考
+ I4 m( D" y; i( X q/ a研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中，纷纷1 O/ M0 i$ @' u1 n0 L+ ^+ V( P5 W/ m6 s
涌现了依托于移动互联网的产品，如教学 app，手机题库，单词本，错题本或+ p$ o1 x4 U; m' h$ i
依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端* D; k# R: d4 s5 e5 K/ @
更高，使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的" ?' c: \. Y; Z# E# y) H5 R
市场占有率和发展趋势，开展了网上问卷调查，问卷格式如附件 1 所示。共收4 n( u4 x6 e6 v1 ?; N+ L9 _
集有效问卷 38182 份，我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请# P: \- }# X4 U7 }( P
你建立合理的数学模型解决如下问题。
- w. ~' k& M0 f- `' p第一阶段问题：
/ v, D9 I3 p7 m8 t' E1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘，找出影响移动端考研产品发展: }5 x3 J, `3 f; Z( i
的主要因素。
$ b$ }8 H9 `8 o" s0 f2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间，预测移动端考研产品的潜在( J: _3 u5 I9 o
市场占有率。, ]( P6 z3 T+ `2 x4 z3 b+ r. e; G
3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象，充分考虑经济、社会) ^6 v3 _( l9 n7 S3 X/ W& [. G
情况和考研教育的特点，评价移动端考研产品投放的可行性。
" \' Z* ?* _# n, R- C+ v6 {7 k2 G8 U+ V, d! k
D题 教室的合理设计* p" u; x8 L! y0 C" e3 f
（本题仅限中学组和专科组选用）
& G- t/ N1 _; m o3 G某培训机构租用了一块如图一所示的场地，由于该机构开设了多种门类
3 q/ c: Q' O: E3 g+ F的课程，所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和
2 H4 q% t# C4 }( `" X8 F1 g4 k活动区。请你建立有效的数学模型，为该机构完成合理的教室设计。对设计
! z7 E! m% T' l; H分别提出了三项要求，分列在下面的问题中。
2 S: [* E6 a3 {9 Y+ m1 O第一阶段问题：
1 D2 P/ g5 _9 l% a: |/ [; a( s3 m1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室，2 个能容纳至少 4 个: I; `! M6 t' j
座位的接待室，不少于 10 平方米的储物空间，不少于 10 平方米的休息区，不" {. O( y" ~) V( K. G
少于 5 平方米的前台接待区。教室之间，教室与接待室之间的出入不能相互0 n4 A5 l3 k5 \/ `9 Q
影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米，每个教室的第一排和黑板之2 n+ r) E y2 I+ V W1 N: H4 ^
间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见，在1 t1 G; w' d+ e+ N1 e# C6 A3 H. i
设计中可以忽略墙占用的面积。# S2 x9 ^* K- O) ]
2. 在要求 1 的基础之上，考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。$ i7 w! C3 J! e0 V- R5 }
3. 在要求 1 的基础之上，考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教
) N$ Q9 j4 u" Z1 L: u室。6 _& l2 X: [5 \4 y* s4 g* S+ S( ^0 j
/ O$ j, n, u2 d6 a0 V5 C; Z3 k/ G& Y: _& T" r
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发表于 2017-4-14 07:43
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发表于 2017-4-14 08:33
