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& w5 o; c7 v# Q! N! N! c( Z1 K9 Z1 u2 P
# {7 X1 Q4 z4 X+ e9 n3 ]
* E! `, ~- }( L) |: t6 y kA题 安全的后视镜. h# P) ~, K$ q2 I# J
汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有
* O, v2 b% w- J4 S7 K良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视
U# X7 E& [4 z. X' @镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.! f* \0 H( x* y- M) z$ T
如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.
9 a; X9 b' q: P% D, R) ~但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面
X) g6 y% Z: p T4 a# w: Z获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的
8 N f8 o$ j+ T: h距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.
: W& l/ T3 m6 {1 H7 e! h8 t但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构
9 j0 V( w( D) Z4 O造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距& ~% n8 B* B* r
离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一: r& G. f6 n# d6 U& q) X: l
种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了
" b* \6 h( C' D- M平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线
9 i3 c6 c3 t7 E) C) r, U或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性
; K# A# j8 q f9 Q+ p1 b能也会有所不同.
" F+ V$ U$ y) _5 [+ N第一阶段问题： 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的. A3 M+ k6 q- c$ p! }
外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都
# @& i2 ] X% t4 Z设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜; T& u* ^0 ]6 ]
给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一
0 g) x% z# F/ D; Z0 b6 f! Y种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有1 R- x- f. N. u6 d) C
的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相
2 Q, a8 z* @! U% k, @4 c" J3 N应的国家标准.
; Z6 ?, E2 i8 Q4 W# e; `1
2 F. F/ E. E" T3 x7 {& B2 s图 1: 变曲率后视镜的例子8 {4 f( }& e/ W
5 A7 h7 I7 v2 l# N6 f- H. t
! c% L7 B$ a4 h7 u
B题 岁月的印记
5 e: c4 z7 J5 V0 X9 w& O对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经2 `& r3 x$ P$ C, p2 W
历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨
q8 }7 C- i0 a+ s0 w出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起$ _/ S) i! ?; g# _4 [) K
来也就越困难.. k% k6 U& s3 \) Q
第一阶段问题： 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面
* e! L$ p) |3 E/ P! ]* [1 n部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以
! m q% N0 E* w& s5 r6 k7 ?. \假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.
7 A( Q4 z4 d9 {4 \: g+ c, g: `9 @$ G
. s0 L5 E7 K: o+ _8 M. n8 q$ `C题 移动端考研产品的春天真的到来了吗？
C4 n. K2 u0 K( {2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加，比去年增加
9 K4 g' |' Z# r0 [了 24 万名考生，增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来，而考研教8 N7 D: ~1 A! s6 `. h+ g
学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来，使得许多考
6 G# ]% G0 z9 h. @5 l2 s2 z6 p研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中，纷纷8 t) y6 t# L7 O: u t
涌现了依托于移动互联网的产品，如教学 app，手机题库，单词本，错题本或
5 c! i+ t6 A/ n. D. U依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端+ ?3 D3 k6 H- V
更高，使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的
4 n, p$ T/ b0 `7 A市场占有率和发展趋势，开展了网上问卷调查，问卷格式如附件 1 所示。共收
7 E! Z9 \, w1 [ D, I集有效问卷 38182 份，我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请) {- P( c5 H' @: a6 T Q! x
你建立合理的数学模型解决如下问题。0 g: E* ~: f1 u+ N8 _; P
第一阶段问题： r1 n- A2 x; X! @+ w4 h
1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘，找出影响移动端考研产品发展
|( J4 [- t! }1 O( e! g. i的主要因素。3 w. Y& l9 R! {& H& p1 N. v
2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间，预测移动端考研产品的潜在) V/ e. C* \$ e# _
市场占有率。
. R7 M n' P6 U3 T3 y" ^' k: o3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象，充分考虑经济、社会! L( B4 x0 A! R) l5 }5 S
情况和考研教育的特点，评价移动端考研产品投放的可行性。/ f3 J) o, ?: H; V2 K: q, Z" N
5 r4 O: b8 X( X' x; zD题 教室的合理设计
, G# c" A4 Y. {/ d j; h9 X- G（本题仅限中学组和专科组选用）
]3 X, V: u; E, g某培训机构租用了一块如图一所示的场地，由于该机构开设了多种门类
% l6 M4 q" {$ U0 @' `) e6 i的课程，所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和/ u8 V$ A% @0 q! ?+ W/ Q' ~: g
活动区。请你建立有效的数学模型，为该机构完成合理的教室设计。对设计7 b& v* i" ]. \' h+ G" _
分别提出了三项要求，分列在下面的问题中。
8 F: P. l& L) l6 N$ ?第一阶段问题：/ g2 N% Y0 J4 ~2 R/ i' g
1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室，2 个能容纳至少 4 个
N' c& L& m' v1 q座位的接待室，不少于 10 平方米的储物空间，不少于 10 平方米的休息区，不+ \& b+ q* ^* g; n
少于 5 平方米的前台接待区。教室之间，教室与接待室之间的出入不能相互
8 V+ e7 e2 i* s$ X0 o" D: F影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米，每个教室的第一排和黑板之2 C) G2 N5 _- ?
间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见，在( |; M4 M1 n6 N* i. J$ W: L
设计中可以忽略墙占用的面积。: m9 z6 e- b: n& I( W9 Y
2. 在要求 1 的基础之上，考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。3 p: e8 k# C% z0 C0 D
3. 在要求 1 的基础之上，考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教% O3 \2 O6 U/ {
室。
; k/ M" z# p. u" ^0 _0 R4 S+ ~
) G4 b3 U( ?& R7 t0 a" G. B7 |" F) T
* l8 H( h- e/ Q! y2 o
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发表于 2017-4-14 07:43
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发表于 2017-4-14 08:33
