2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题

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2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题发布：无体力赛题下载地址：www.tzmcm.cn
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. e! s/ S3 A7 [& @A题 安全的后视镜
汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有
$ j* Y* ]6 k: Q0 @1 ~7 {良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视
( z% F) E0 r& ?, \' ?( P: w1 V镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.
, ?" G; ~/ W' I8 W0 M  I如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.
8 B9 P: l0 y# p3 P3 y但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面
获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的
距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.
) }' G0 e  X7 G4 Z* }/ s. E但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构
造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距
离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一
" _& ~; M- n- s4 c5 O2 a/ c种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了
7 _7 O8 Z5 ~8 X: e2 ?6 h- \平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线
2 b( t" u0 g8 H) k; e或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性
. g9 c; ~/ e7 S  y能也会有所不同.
' P- N( B+ ?* W' |3 \第一阶段问题： 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的
' l! y- U6 C. T1 o# ?, O$ b外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都
设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜
) C: F7 @2 N; e$ C给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一
种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有
的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相
9 n1 S9 F" C( U2 p  U应的国家标准.
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7 O- R& f/ {0 ]6 K4 Z4 M图 1: 变曲率后视镜的例子


B题 岁月的印记
3 Y) V. C7 N3 s对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经
历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨
, z$ y2 ]: c% S4 h- R出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起
: Y6 n" J+ R) c9 m5 j来也就越困难.
8 p9 L4 ^. ^0 j! g3 G: C# a" I第一阶段问题： 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面
* z: \& }$ ^$ _8 X部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以
假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.
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C题 移动端考研产品的春天真的到来了吗？
( s# ?0 q9 t2 h9 ~: `+ v  q2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加，比去年增加
0 _( Y- ~7 x# X! z7 [3 s( h* x; W了 24 万名考生，增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来，而考研教
学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来，使得许多考
研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中，纷纷
涌现了依托于移动互联网的产品，如教学 app，手机题库，单词本，错题本或
; ~  T6 v# _( T! b) R+ ~/ A, P依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端
1 j3 E! x" ~3 W% w更高，使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的
市场占有率和发展趋势，开展了网上问卷调查，问卷格式如附件 1 所示。共收
集有效问卷 38182 份，我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请
3 _% g& K& X+ j0 Y( c你建立合理的数学模型解决如下问题。
! Z9 q% o; ]. q3 d第一阶段问题：
1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘，找出影响移动端考研产品发展
" g* n$ c6 P* s9 U! g4 w% }的主要因素。
* x& Y$ |0 q6 q+ X( q2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间，预测移动端考研产品的潜在
市场占有率。
/ H  ?) y" |1 C3 ]3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象，充分考虑经济、社会
( k% g5 ]' H% N7 }5 T情况和考研教育的特点，评价移动端考研产品投放的可行性。

* w# a0 W% S; s: e: c- ?$ ID题 教室的合理设计
+ h, ^3 ?' Z. g/ M) K（本题仅限中学组和专科组选用）
某培训机构租用了一块如图一所示的场地，由于该机构开设了多种门类
( ~. S$ O. l+ W的课程，所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和
' R* q, @5 T0 D1 O9 N活动区。请你建立有效的数学模型，为该机构完成合理的教室设计。对设计
分别提出了三项要求，分列在下面的问题中。　
5 u1 f) n# V8 \* I$ g" B/ V第一阶段问题：
1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室，2 个能容纳至少 4 个
座位的接待室，不少于 10 平方米的储物空间，不少于 10 平方米的休息区，不
少于 5 平方米的前台接待区。教室之间，教室与接待室之间的出入不能相互
影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米，每个教室的第一排和黑板之
$ \2 d/ @$ Q* f* n( B% F( x9 {间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见，在
+ ^4 }/ T5 ^4 F, I9 X设计中可以忽略墙占用的面积。
  C* g: I+ c/ L( z# O4 X, _2. 在要求 1 的基础之上，考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。
6 ^& N' _3 p' k% }7 V3. 在要求 1 的基础之上，考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教
室。

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