中考试题数学建模的常见类型

重光兰衣

中考试题数学建模的常见类型
      全日制义务教育数学课程标准对数学建模提出了明确要求，强化学生数学建模的能力，不仅能使学生更好地掌握数学基础知识，学会数学的基本思想和方法。也能增强学生应用数学的意识，提高分析问题，解决实际问题的能力。近几年全国各地的中考试题考查学生建模思想和意识的题目有许多，比较常见类型有以下四类：一、建立“函数”模型函数反映了事物间的广泛联系，揭示了现实世界众多的数量关系及运动规律。现实生活中，诸如最大获利、用料价造、最佳投资、最小成本、方案最优化问题，常可建立函数模型求解。例1 （贵阳市中考）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：（1）y=90-3（x-50） 化简，得y=-3x+240（2）w=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600（3）w=-3x2+360x-9600= -3（x-60）2+1125∵a=-3∴当x=55时，w的最大值为1125元。∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润1125元的最大利润。二、建立“不等式（组）”模型现实生活建立中同样也广泛存在着数量之间的不等关系。诸如统筹安排、市场营销、生产决策、核定价格范围等问题，可以通过给出的一些数据进行分析，将实际问题转化成相应的不等式问题，利用不等式的有关性质加以解决。例2 （茂名市中考）某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100只，付款总额不得超过11815元。已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表，试解答下列问题：（1）该采购员最多可购进篮球多少只？（2）若该商场能把这100只球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于2580元，则采购员至少要购篮球多少只？该商场最多可盈利多少元？解：（1）该采购员最多可购进篮球x只，则排球为（100-x）只，依题意得：130x+100（100-x）≤11815 解得x≤60.5 ∵x是正整数，∴x=60答：购进篮球和排球共100只时，该采购员最多可购进篮球60只。（2）该采购员至少要购进篮球x只，则排球为（100-x）只，依题意得：30x+20（100-x）≥2580 解得x≥58由表中可知篮球的利润大于排球的利润，因此这100只球中，当篮球最多时，商场可盈利最多，即篮球60只，此时排球平均每天销售40只，商场可盈利（160-130）×60+（120-100）×40=1800+800=2600（元）答：采购员至少要购进篮球58只，该商场最多可盈利2600元。三、建立“几何”模型几何与人类生活和实际密切相关，诸如测量、航海、建筑、工程定位、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时，常需建立“几何模型，把实际问题转化为几何问题加以解决。例3（南宁市中考）如图点P表示广场上的一盏照明灯。（1）请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子（用线段表示）；（2）若小丽到灯柱MO的距离为1.5米，小丽目测照明灯P的仰角为55°，她的目高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离；结果精确到0.1米；参考数据：tan55？°≈1.428，sin55°≈0.819，cos55°≈0.574。解：（1）如图，线段AC是小敏的影子。（2）过点Q作QE⊥MO于E，过点P作PF⊥AB于F，交EQ于点D，则PF⊥EQ。在Rt△PDQ中，∠PQD=55°，DQ=EQ-ED=4.5-1.5=3（米）。∵tan55°=∴PD=3 tan55°≈4.3（米）∵DF=QB=1.6米∴PF=PD+DF=4.3+1.6=5.9（米）。答：照明灯到地面的距离为5.9米。四、建立“方程（组）”模型现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系，“方程（组）”模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型，它可以帮助人们从数量关系的角度更正确、清晰的认识、描述和把握现实世界。诸如纳税问题、分期付款、打折销售、增长率、储蓄利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题，常可以抽象成“方程（组）”模型，通过列方程（组）加以解决。例4（深圳市中考）A、B两地相距18公里，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道。已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程对提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？解：设甲工程队每周铺设管道x公里，则乙工程队每周铺设管道（x+1）公里。依题意得：-=3 解得x1=2， x2=-3经检验x1=2，x2=-3都是原方程的根。但x2=-3不符合题意，舍去。∴x+1=3答：甲工程队每周铺设管道2公里，则乙工程队每周铺设管道3公里。