数学建模--统计回归模型 回归模型是利用统计分析方法建立的最常用的一个模型,下面将通过对软件得到的结果进行分析,进而改进我们的模型。 下面将用3个例子展示对回归模型的优化。 1.牙膏的销售模型 问题的提出:假设一个公司需要预测不同价格和广告费用下的牙膏的销售量,我们需要怎么建立模型呢? , \5 Z. k4 D/ H1 \6 m: g
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假设我们拿到的数据如下: 我们可以根据数据建立一个基本的模型: y:公司牙膏销售量y:公司牙膏销售量 x1:价格差x1:价格差 x2:公司广告的费用x2:公司广告的费用 模型为:y=β0+β1x1+β2x2+β3x22+ϵy=β0+β1x1+β2x2+β3x22+ϵ 求解这个模型我们会得到下面的结果: , T& R: s, o# o/ {
这说明y的90.54%可以由模型确定,x2对因变量y 的影响不太显著(因为β2的置信区间包括0点β2的置信区间包括0点)。 这些数据具体到公司的销售量到底意味着什么呢? 假设我们把控制价格差x1=0.2x1=0.2,投入广告费x2=650x2=650万,根据我们的模型可以求出y的值为8.2933(百万支),销售量的预测区间为[7.8230,8.7636]。 那么我们就有95%把握知道销售量在7.8320百万支以上。 优化——加入交互项 刚才我们只考虑了每个因素单独的影响,现在我们考虑他们的影响有交互作用,即我们的模型变为: y=β0+β1x1+β2x2+β3x22+β4x1x2+ϵy=β0+β1x1+β2x2+β3x22+β4x1x2+ϵ 从而求得的结果为: 这是后仍控制价格差x1为0.2,投入广告费用x2位6.5百万,我们得到的销售量为8.3272,可见比原来有所增加,预测区间变为[7.8953,8.7592],预测区间缩短。 下面是模型的比较: 那么加入交互项对模型有什么影响呢? 由上图可见加入交互项之后函数的变化更加明显,我们也可以从中得到一些启发,比如下图我们用了不同的价格差,对广告费(x2x2)用和销售量(y)进行比较: 由上图我们可以容易的总结出以下两条: 广告费用小于7左右的时候,价格优势的作用更加明显,价格低的销售量多。 当广告费大于6百万的时候,价格差小的,销售良随着广告的增加而增加的速率更快,所以此时应该增加广告来吸引眼球。 2.软件开发人员的薪金建立模型研究薪金与资历、管理责任、教育程度的关系,从而分析人事策略的合理性,作为新聘用人员薪金的参考 数据为46个开发人员的薪资 资历~ 从事专业工作的年数;管理~ 1=管理人员,0=非管理人员;教育~ 1=中学,2=大学,3=更高程度 建立基本模型 y 薪金,x1 资历(年)y 薪金,x1 资历(年) x2=1 管理人员,x2=0 非管理人员x2=1 管理人员,x2=0 非管理人员 x3=1 中学,x3=0 其它x3=1 中学,x3=0 其它 x4=1 大学,x4=0 其它x4=1 大学,x4=0 其它 所以: 中学:x3=1,x4=0;大学:x3=0,x4=1;更高:x3=0,x4=0中学:x3=1,x4=0;大学:x3=0,x4=1;更高:x3=0,x4=0 回归模型为: y=a0+a1x1+a2x2+a3x3+a4x4+ϵy=a0+a1x1+a2x2+a3x3+a4x4+ϵ 得到结果: 我们可以从得到结果分析: 资历增加1年薪金增长546 管理人员薪金多6883 中学程度薪金比更高的少2994 大学程度薪金比更高的多148 a4置信区间包含零点,解释不可靠! 优化——残差分析 残差:e=y−y^e=y−y^ 残差与资历x1的关系 可见残差的波动较大 管理与教育的组合一共有6种: 比较残差和管理——教育组合的关系: 残差全为正,或全为负,管理—教育组合处理不当 ,应在模型中增加管理x2与教育x3, x4的交互项 改进的模型y=a0+a1x1+a2x2+a3x3+a4x4+a5x2x3+a5x2x4+ϵ 去除异常的值 R,F有改进,所有回归系数置信区间都不含零点,模型完全可用 由此可以定制6种管理—教育组合人员的“基础”薪金(资历为0) 3.投资额与国民生产总值和物价指数根据对未来国民生产总值(GNP)及物价指数 (PI)的估计,预测未来投资额 该地区连续20年的统计数据 首先建立基本的统计回归模型: t−年份,yt−投资额,x1t−GNP,x2t−物价指数t−年份,yt−投资额,x1t−GNP,x2t−物价指数 模型为:yt=β0+β1x1t+β2x2t+ϵyt=β0+β1x1t+β2x2t+ϵ 根据数据得到的结果: 此模型不足的地方: 没有考虑时间序列数据的滞后性影响 可能忽视了随机误差存在自相关;如果存在自相关性,用此模型会有不良后果 模型自相关的诊断 定性诊断——残差分析 模型残差:et=yt−y^tet=yt−y^t et−1et−1表示上一个数据的残差 画出et−et−1et−et−1的散点图 由图可见,大部分点落在1,3象限,说明有正的自相关 所以直观的判断该模型有正的自相关 定量诊断——D-W检验 我们引入自相关回归系数ρρ,当ρ=0ρ=0表示无自相关性,ρ>0ρ>0表示存在正自相关性,ρ<0ρ<0表示存在负自相关性 Q1:如何估计ρρ? A1:D-W统计量 D-W统计量的计算 由D-W值的大小确定自相关性: 那如何知道dL和dU呢?这是可以查表的。 Q2:如何消除自相关性? A2:广义分差法 我们通过上面可以求得DW值和dL以及dU,那我们计算ρ=1−DW/2ρ=1−DW/2就可以知道是否存在自相关性了 例如我们样本容量n=20,回归变量数目k=3,a=0.05 ,我们可以查到临界值dL=1.10, dU=1.54 ρ=1−DW/2=0.5623ρ=1−DW/2=0.5623,说明存在正的自相关性。 于是我们就可以得到新的模型: 我们可以根据这个模型我们可以再做一次自相关性的检测,发现新的模型已经没有自相关性了。 最后我们就可以根据新的自相关模型进行对下一年数据的预测了。 总结一下 在面对与时间有关的数据的时候,我们常常要检测模型的自相关性,消除了模型的自相关性之后才能建立更加精确的模型。 常常通过D-W方法检测模型的自相关性,用广义差分法消除模型的自相关性。 浓度等后一个量往往受前一个量的影响,在建立模型时往往要考虑前一个值得影响 ( q/ h+ Q7 H5 q6 W: j& @! B& F
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