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TA的每日心情 | 奋斗 2023-5-24 09:14 |
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中考试题数学建模的常见类型
全日制义务教育数学课程标准对数学建模提出了明确要求,强化学生数学建模的能力,不仅能使学生更好地掌握数学基础知识,学会数学的基本思想和方法。也能增强学生应用数学的意识,提高分析问题,解决实际问题的能力。近几年全国各地的中考试题考查学生建模思想和意识的题目有许多,比较常见类型有以下四类:一、建立“函数”模型函数反映了事物间的广泛联系,揭示了现实世界众多的数量关系及运动规律。现实生活中,诸如最大获利、用料价造、最佳投资、最小成本、方案最优化问题,常可建立函数模型求解。例1 (贵阳市中考)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元,市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱。(1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式。(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式。(3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?解:(1)y=90-3(x-50) 化简,得y=-3x+240(2)w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600(3)w=-3x2+360x-9600= -3(x-60)2+1125∵a=-3∴当x=55时,w的最大值为1125元。∴当每箱苹果的销售价为55元时,可以获得最大利润1125元的最大利润。二、建立“不等式(组)”模型现实生活建立中同样也广泛存在着数量之间的不等关系。诸如统筹安排、市场营销、生产决策、核定价格范围等问题,可以通过给出的一些数据进行分析,将实际问题转化成相应的不等式问题,利用不等式的有关性质加以解决。例2 (茂名市中考)某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100只,付款总额不得超过11815元。已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表,试解答下列问题:(1)该采购员最多可购进篮球多少只?(2)若该商场能把这100只球全部以零售价售出,为使商场获得的利润不低于2580元,则采购员至少要购篮球多少只?该商场最多可盈利多少元?解:(1)该采购员最多可购进篮球x只,则排球为(100-x)只,依题意得:130x+100(100-x)≤11815 解得x≤60.5 ∵x是正整数,∴x=60答:购进篮球和排球共100只时,该采购员最多可购进篮球60只。(2)该采购员至少要购进篮球x只,则排球为(100-x)只,依题意得:30x+20(100-x)≥2580 解得x≥58由表中可知篮球的利润大于排球的利润,因此这100只球中,当篮球最多时,商场可盈利最多,即篮球60只,此时排球平均每天销售40只,商场可盈利(160-130)×60+(120-100)×40=1800+800=2600(元)答:采购员至少要购进篮球58只,该商场最多可盈利2600元。三、建立“几何”模型几何与人类生活和实际密切相关,诸如测量、航海、建筑、工程定位、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时,常需建立“几何模型,把实际问题转化为几何问题加以解决。例3(南宁市中考)如图点P表示广场上的一盏照明灯。(1)请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子(用线段表示);(2)若小丽到灯柱MO的距离为1.5米,小丽目测照明灯P的仰角为55°,她的目高QB为1.6米,试求照明灯P到地面的距离;结果精确到0.1米;参考数据:tan55?°≈1.428,sin55°≈0.819,cos55°≈0.574。解:(1)如图,线段AC是小敏的影子。(2)过点Q作QE⊥MO于E,过点P作PF⊥AB于F,交EQ于点D,则PF⊥EQ。在Rt△PDQ中,∠PQD=55°,DQ=EQ-ED=4.5-1.5=3(米)。∵tan55°=∴PD=3 tan55°≈4.3(米)∵DF=QB=1.6米∴PF=PD+DF=4.3+1.6=5.9(米)。答:照明灯到地面的距离为5.9米。四、建立“方程(组)”模型现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系,“方程(组)”模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型,它可以帮助人们从数量关系的角度更正确、清晰的认识、描述和把握现实世界。诸如纳税问题、分期付款、打折销售、增长率、储蓄利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题,常可以抽象成“方程(组)”模型,通过列方程(组)加以解决。例4(深圳市中考)A、B两地相距18公里,甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道,乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道。已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里,甲工程对提前3周开工,结果两队同时完成任务,求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道?解:设甲工程队每周铺设管道x公里,则乙工程队每周铺设管道(x+1)公里。依题意得:-=3 解得x1=2, x2=-3经检验x1=2,x2=-3都是原方程的根。但x2=-3不符合题意,舍去。∴x+1=3答:甲工程队每周铺设管道2公里,则乙工程队每周铺设管道3公里。
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