数学分析

LJX2013

数学分析部分： 从数学分析的课本讲起吧.复旦自己的课本应该可以从 六十年代上海科技出的算起 (指正式出版),那本书在香港 等地翻印后反应据说非常好,
1 Z" ^6 i5 U, J2 x6 G3 X似乎丘成桐先生做学生的时候
4 C. X. n, `" k. _* v. _也曾收益与此.
到90年代市面上还能看到的课本
里面,有一套陈传璋先生等编的,
  M" r8 E& t% v可能就是上面的书的新版,交大的
: h8 w/ H! `. p; P9 ]. ~4 Q. d2 W1 y试点班有几年就拿该书做教材.
另外有上海科技版的欧阳光中(谷先生
1 K; B% H! S% t8 E; H; [的连襟),秦曾复,朱学炎三位编的
课本,好象后来数学系不用了,
计算机系倒还在用.那本书里面
0 G: p- O% r; w* b, q' X据说积分的第二中值定理的陈述
6 }2 h+ C' |2 S+ @" o有点小错.
总的说来,这些书里面都可以看到
一本书的影子,就是
7 R' ?% Q8 Y* _9 b" `6 k6 s" ]# E菲赫今哥尔茨的"数学分析原理",
7 I5 D' T( M# C5 N% U其原因,按照秦老师的说法,是最初
  r3 U5 f* ~2 F9 e# L1 ]% w9 L! }3 L在搞教材建设的时候,北大选的"模本"
1 w: X2 _3 t' K是辛钦的"数学分析简明教程",
" i. t; [9 _  v+ ~/ E而复旦则选了"数学分析原理".
' k. f# c) ]* ^* K6 H+ b+ l) H+ P后来自然有欧阳先生和姚允龙老师的
那本数学分析.我不否认那是一种尝试,
0 B2 Y' |: R" _$ @7 S( c0 S+ p但是感觉上总有点别扭.以比较新的观点
- q7 I* d8 d5 T3 U来看数学分析这样经典的内容在国际上
$ Q' V; l4 @! W9 o# O的确是一种潮流,但是从这个意义上说
该书做得并不是非常好.而且从整体的
课程体系上说,在后面有实变函数这样
2 r* _- |' P7 l1 ?9 A/ p' q一门课的情况下是否有必要引入Lebesgue
" d. o* z% q9 i* @: G- b! ~. m积分值得商榷.
  
$ ?% ^0 ^9 d) y1 U- z) t( o下面开始讲一些课本,或者说参考书:
1.菲赫今哥尔茨
"微积分学教程","数学分析原理".
前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本;
后一本书,俄文版共二卷,中译本共4本.
此书堪称经典.
$ T6 T! p; p7 k& u; }"微积分学教程"其实连作者(莫斯科或者
* s5 C) A1 c7 S: \. c/ Q列宁格勒大学的教授,门下弟子无数,包括
5 \$ S" o" c) p8 l5 F后来得诺贝尔经济学奖的著名数学家Kantorovitch)
都承认不太合适作为教材,为此他才给出了
; c4 b4 m$ ?0 n' d! `能够做教材的后一套书,可以说是一个
* P/ `( r& a3 Y# y  o* K* i" t精简的版本(有所补充的是在最后给出了
一个后续课程的简介).
, [% \; q* |3 D7 w( c( X相信直到今天,很多老师在开课的时候
; d( I4 F  V% _# [. a4 n" p还是会去找"微积分学教程",因为里面
6 n9 k# x) k& j  W的各种各样的例题实在太多了.如果想
比较扎实的打基础的话,可以考虑把里面的
例题当做有答案的习题来做,当然不是每道
/ ]3 w4 S5 f# G! }$ x$ B3 L题都可以这么办的.如果你全部做完了
; P. e& K( `( Q$ |. b: g那里的题目然后考试的时候碰到你做过的
可别怪我.
# y& i" h! c# z: A) l7 @毫无疑问,这套书代表了以古典的方式
8 A: n! ?# o' o2 L处理数学分析内容(指不引入实变,泛函的观念)
: A6 h: ^. [. G/ s8 x- ]! V的最高水平,考虑到在中国的印数就以十万
8 G2 X; B) b' V/ e计,可能在世界范围内也只有Goursat的书可以与之相比了.
" |" R( k$ X5 a/ y  n4 j) g这两套书在理图里面都有.
2 O( F5 m( [. u. e& n  W7 ?/ n2.Apostol
; @6 D3 @6 X. e"Mathematical Analysis"
1 z5 B7 g" R8 T4 b2 H" v) s  S在西方(西欧和美国),这应该算得上是
一本相当完整的课本了,在总书库里面
. ^8 ], K+ x, C$ G, q( \有.
3.W.Rudin
"Principles of Mathematical Analysis"
. d/ o( e9 H& i& M: g2 n( u8 [" O(有中译本:卢丁"数学分析原理",理图里有)
& m* z$ `! T% a# r. P$ }- K这也是一本相当不错的书,后面我们可以看到,
  a2 k4 [  A) s/ `  o/ h这位先生写了一个系列的教材.该书的讲法,
% _$ W" m5 p- c) y(指一些符号,术语的运用)也是很好的.
这里附带说一句,因为在理基里面当年念的是
- J  [8 O$ m% @( }6 D后来复旦出版社出的秦老师和余跃年编的"高等数学",
虽然我一向认为该书编的很是不好,但是在这里
& `& c, M; T- k" p想引秦老师的一句话,希望能对非数学专业的
: L# s+ M4 f& E# P& x  tddmm有所帮助:就是学完"高等数学"以后,可以
找一本西方advanced calculus水平的书来看,
' w: ^4 h( O! E  |/ y. e基本上就能够达到一般数学系的要求了.当时秦老师
曾特别指出Rudin的书.
+ y$ r$ \/ L8 a- n; m说到Advaced Calculus,在这个标题下面有一本书也是
可以一看的,就是
L.Loomis和S.Sternberg的Advanced Calculus,
其第一版在总书库里面有不少,第二版在理图
外国教材中心有一本,系资料室是不是有不清楚.
这本书的观点还是很高的,毕竟是人家Harvard的
课本.
  
4."数学分析"(北大版)方企勤,沈燮昌等
"数学分析习题集","数学分析习题课教材".
北大的这套课本写得还是可以的,不过最好的东西
7 L) u8 A! G7 R% j* E# Y" d* y还是两本关于习题的东西.大家知道,吉米多维奇
并不是很适合数学系的学生的,毕竟大多是计算题
(一个比较有意思的地方是那套被广大教师痛骂的
# H* T" p4 }, k3 J% `1 G8 j习题解答其实有一个题的第二小题是没答案的,
原因好象是编书的人也没做出来,好象是关于级数
收敛的一个题目).相比之下北大的这本习题集就
要好许多,的的确确值得一做.那本习题课教材也
; M1 I' Y7 b7 r% }4 V* y3 g是很有意思的书,包括一些相当困难的习题的解答,
4 M9 ~3 j$ F$ ?# w# _  {96年那会理图里面有一本,现在不知道怎么样了.
5.克莱鲍尔"数学分析"
. O) ]2 p4 a2 K7 y记得那是一本以习题的形式讲分析的书,题目也很不错.
理图里有.
6.张筑生"数学分析新讲"(共三册)
我个人认为这是中国人写的观点最新的数学分析课本,
8 R! |: m" v& P3 i  `7 W& X张老师写这书也实在是呕心沥血,手稿前后写了差不多
五遍.象他这样身有残疾的人做这样一件事情所付出的
) {, H% o$ P- U) @. ~0 }- g. a是比常人要多得多的.以致他自己在后记中也引了"都
0 a3 U$ r2 p" d( I1 @0 W8 Z云作者痴,谁解其中味".在这套书里,对于许多材料的
处理都和传统的方法不太一样.非常值得一读.唯一的
遗憾是,按照张老师本人的说法,北大出版社找了家根
8 C3 @- C0 p  t$ K本不懂怎么印数学书的印刷厂,所以版面不是很好看.
# O4 [$ B& [" S' Y. b* `/ `理图里有.
3 A9 b# U+ @$ j: |, {, U/ j  
下面的一些书可能是比较"新颖"的.
5 ?: X$ }  `. [" Q7a.尼柯尔斯基"数学分析(教程?)"
理图里有,是清华的人翻译的,好象没翻全.那属于
80年代以后苏联的新潮流的代表,不管怎么说,
2 }/ s3 h3 q4 F: b1 b4 B2 m/ l人家是苏联科学院院士.
7b."数学分析"
忘了是谁写的了, 也是苏联的,莫斯科大学的教材.
3 f8 d# u! h# ]4 f$ O# ~理图里面有第一卷的中译本,分两册.那里面从极限
1 w* V+ J; a- a( y的讲法(对于拓扑基的)开始就能够明显得让人感觉
到观点非常的"高".
8.狄多涅"现代分析基础(第一卷)"
3 P1 }6 F: e: A! I+ F) c8 O  F那是一套二十世纪的大家写的一整套教材的第一卷,
用的术语相当"高深",可能等以后学了实变,泛函再
回过头来看感觉会更好一些.
9.说两句关于非数学专业的高等数学.
这里强烈推荐理图里面几本法国人写的数学书.
1 K  S" P3 h: a9 w因为在法国高等教育系统里面,对于最好的学生,
中学毕业以后念的是两年大学预科,这样就是不
" B; i$ n+ Q# v6 M/ U9 J! T分系的,所以他们的高等数学(比如理图里面有
J.Dixmier院士的"高等数学"第一卷)或者叫
% W# E, f) n- P9 \/ L"普通数学"(理图里面有一套书就是这个标题),
其水平基本上介于国内数学系和物理系的数学课
之间.
: J8 }4 e: N2 G7 ^3 @* g  
' P  y, D5 M5 ~10.再补充一个技术性的小问题.对于函数项级数收敛,
4 z+ j7 m7 [" ~/ u3 r# l一致收敛是充分而非必要的,有一个充要条件叫
"亚一致收敛性",在"微积分学教程"里面提了一句,
其详细讨论,似乎仅见于
鲁金(Lusin)的"实变函数论"
里面,总书库里面有.
11.华罗庚先生的"高等数学引论"第一卷
这套书(其实没有完成最初的计划)是六十年代初
华先生在王元先生的辅助下对科大学生开课时
% d+ K* z* P+ z的讲义.那时候他们做过一个实验,就是一个教授
% a5 |1 g! o( }! j+ E负责一届学生的教学,所以华先生这书里面其实
$ g& C; `. q: p( `2 t是涉及很多方面的(附带提一句,另外两位负责过一
' I5 K) P, I5 a: r* \7 d% c0 C% Y届学生的是关肇直先生和吴文俊先生).也是出于
8 u" q. N5 t7 k9 ?  P" D1 W3 R# h一种尝试吧,华先生这书里面有一些不属于传统
0 k, D8 ^9 X7 k1 h5 X- e, ?教学内容的东西,还包括一些应用.可以一读.
: j$ ~; k2 R( \6 U+ k0 [- e理图里有.
12.何琛,史济怀,徐森林
! C# B/ I! A9 C% f/ J& \4 W"数学分析"
这应该是科大的教材,虽然好象影响不是很大,
我本人还是很喜欢的,高一的时候第一次学数分
% d6 P' h4 e  y# _. M# [- E就是用的这套书,感觉是条理清晰,配的习题也很好.
; ^! ]: a" f+ }9 d8 h3 O印刷质量也相当不错.可惜的是学校里面没有,所以
放在最后.
  
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空间解析几何部分：
- k1 P- w2 ^( m4 m: n& e' B( Y
( D& n1 M& ^* v0 h! H% r空间解析几何实在是一门太经典,
+ e6 _2 G) c1 }$ y或者说古典的课.从教学内容上说,
7 I5 Z# I( ?. G4 D1 J* @可以认为它描述的主要是三维欧氏
, ?, y, O3 i/ P- p/ E7 i0 \空间里面的一些基本常识,包括最
基本的线性变换(那是线性代数的特例),
- n$ x0 t' u/ i2 ]# t) [和二阶曲面的不变量理论.在现行
的复旦的教材,苏先生,胡先生他们编的
% ~# M6 [+ w. \4 ~"空间解析几何"里面,最后还有一章讲
; z% J/ Z4 H( A; f8 |射影几何.
这本书非常之薄.但是内容还是比较丰富的.
2 i& @2 l7 D, y特别是有些习题并不是非常容易.最后一章射影
的内容还不是很好念的.
当然,这里还要提到十来年前大概
做过教材的一本书:
项武义,潘养廉等
5 Z0 e& @) t( U  z. h1 q"古典几何学".
2 \' L% c) V9 h这书的内容与课本不是很一样,不过处理方法还是
很不错的.项先生应当算做很能侃的那种类型的.
可以考虑的参考书包括:
1.陈(受鸟)
" v4 N1 v6 k+ F/ w+ C1 @7 ]"空间解析几何学"
' V+ c8 N" ?% N" a内容基本上和课本差不多,不过要厚许多,自然要好念点.
7 ?' L9 e- s1 _" s, I9 i陈先生是吴大任先生(大猷先生的堂弟,南开多年的教务长)
的夫人,也是中国早期留学海外的女学者.
+ D4 q% j% U7 f% K) j7 y) B2. 於ρ*
"解析几何学"
: b! z2 F2 R: r这本书基本上只在欧氏空间里面讨论问题.优点是非常易懂,
连二维的不变量理论也在附录里面交代得异常清楚.那里面
  I$ q4 j1 G6 x6 d4 K1 Q% S的习题也比较合理,不是非常的难(如果我没有记错的话).
朱先生相当有才华,可惜英年早逝.
) R% J2 F. F* U% i  ?$ S, R0 u  
关于数学分析的习题,还有一本书,就是
G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的
"数学分析中的问题和定理"
在学习数学分析的阶段,可以考虑其第一卷的
1 r2 ?' ~" p2 J$ c2 Z1 k前面一半,后面就全是复变的东西了.
+ z* f7 j6 {  Q3 |9 w0 Q) j该书的内容还是非常丰富的.
" q2 C. H9 C& j$ B4 g( \在历史上,这是一套曾经使好几代数学家
都受益匪浅的经典著作.这套书的一个好处就是
题目难归难,后面还是有答案或提示的.
"微积分学教程"的第一卷有一册在理图里面似乎很少,
到总书库里面去看看吧!
Loomis-Sternberg的书的书号是O172 L863
" u% U, ^6 w& ~4 F2 K  
如果想了解比较"新"的动态,可以考虑
3.Postnikov
' `/ V* N! V# I. |- ^% h  Z# ^"解析几何学与线性代数(?)"(第一学期)
这是莫斯科大学新的课本,从课程形式就可以看
出,解析几何这样一门课如果不是作为对刚进大学的
, d6 ~, ^$ @+ s! x学生的一个引导,给出一些具体的对象的话,迟早
是要给吃到线性代数里面去的.
海外教材中心有一本英文本.
我个人以为,现在教委的减轻学生负担的做法迟早
是要遭报应的.中国的中学教育水平也就比美国最
% |  J) a  A$ S, F" y+ k糟糕的中学好点,从整体上说,比整个欧洲都要差.
# ^0 P$ [" K, A" O7 }9 C( @3 q& l" q我相信所谓三维的"解析"几何的内容总有一天要
. N) A$ B0 L/ x* X# a7 h2 W下放到高中里面去.
上面的书如果撑不饱你,你又不想学其它的课程的话.
* W$ _) M3 l# h) S/ g; @. }4 D4 L: R5 V可以考虑下面两本经典.其好处是看过以后可以对很多
几何对象(当然具体说是指三维空间里面的二次曲面)有
相当深刻的了解.
; i0 w. f, ~: P/ M4. 衣∧*
5 f) B9 c: h" K4 S2 F# o9 J"(解析)几何学"
这套三卷本的大书包括了许多非常有意思的讨论,记得五年
前看的时候感觉非常有意思.这位苏联科学院院士真是够能
写的.总书库里面有.
5.穆斯海里什维利
) Q1 M4 `7 p7 }4 l"解析几何学教程"
这套书在上面提到的陈先生的书里面就多次引用了.
- ~8 O% g; j. O# w具体的说特别值得参考的是它里面关于射影的一些观点
和讲法(比如认为椭圆也是有渐近线的,只不过是"虚"的
而已).
  
, [2 s( i- n& w3 t==============================================
! A0 s8 f6 g- a2 A
高等代数部分：

高等代数可以认为处理的是有限维
线性空间的理论.如果严格一点,
关于线性空间的理论应该叫线性代数,
再加上一点多项式理论(就是可以完完
+ z, w  T1 d6 W7 b全全算做代数的内容的)就叫高等代数了.
" d# D+ Z  m% z8 g6 m( \7 |9 v这门课在西方的对应一般叫Linear Algebra,
就是苏联人喜欢用高等这个词,你可以在外国
教材中心里面找到一本Kurosh(库落什)的
7 {, H: _! T' _, V( J  UHigher Algebra.
" E9 b# s& E) B1 i- J0 n! Z现在用的课本好象是北大的"高等代数"(第二版?).
5 k7 I: u. Q4 U* _用外校的课本在基础课里面是不常见的.
这本书可以说是四平八稳,基本上该讲
2 D* i6 y& Y# n1 [& [9 g- V的都讲了.但是你要说它有什么地方讲
的特别好,恐怕说不出来.
值得注意的是95-96学年度,北大现在的
校党委组织部长王杰老师(段学复先生
6 Z3 b/ O$ k( G& H) K的弟子)给北大数学科学学院95级1班
' h7 `" w8 `. P( Z6 {开课时曾经写过一本补充材料,把空
间理论的讲得非常清楚.如果谁能搞到
, s7 S2 M: g! E- G9 ^的话翻印出来是件很好的事情(我的那
本舒五昌老师给96开课的时候送给他
( R4 ^9 L6 Z5 w+ ]- J$ k5 V了,估计是找不到了).
7 Q0 P( {: P, t2 h8 w: j9 }- L  
+ n% W% c4 [8 f% q: R3 z- ]好象上面有一点说得不对,就是北大的书用的
还是第一版.第二版在书店里似乎看见过.
; ~' R! h3 x4 J7 s从这门课的内容上说,是可以有很多种讲法的.
线性空间的重点自然是线性变换,那么如果在
( {) D" q1 B$ D定义空间和像空间里面取定一组基的话,就有一
个矩阵的表示.因此这门课的确是可以
建立在矩阵论上的.
' k' G! l3 `1 ~! d4 F; U; x而且如果要和数值搭界的话还必须这么做.
" j+ P/ m) v; @复旦以前有两本课本就是这么做的.
1.蒋尔雄,吴景琨等
"线性代数"
这是那时候计算数学专业的课本,其教学要求据说是比
数学专业相应的课程要高的.
因为是偏向计算的缘故,你可以找到一些比较常用的算法.
( T+ s* c1 a' G* B我个人以为还是比较有意思的.理图里有.
2. 啦 埙等
# U8 \4 j  r9 z6 s4 }; N"高等代数"
这就是在上海科技出版的一整套复旦数学系教材里
讲高等代数的那本.不记得图书馆里面有,不过系里
: A/ t( Z/ r9 @+ I+ f3 s) K可能可以买到翻印的.
$ ~' U5 P( q& _) @9 U! m$ t这本书将80%的篇幅贡献给矩阵的有关理论.有大量
习题,特别是每章最后的"选做题".能独立把这里面
的习题做完对于理解矩阵的
/ _/ M! {2 L4 I" U: F9 N  k3 B各种各样的性质是非常有益的.
当然这不是很容易的:
据说屠先生退休的时候留下这么句话:"今后如果有谁
; Y: _0 D  v8 J' f( N. X  v开高等代数用这本书做教材,在习题上碰到麻烦的话
+ N( w+ b  O  B( ~/ x2 V可以来找我."有此可见一斑.
% j8 z9 ^( c; K1 P( q5 A  
如果从习题方面考虑,觉得上面的书太难吃下去的话,
那么下面这本应该说是比较适当的.
3. 啦 埙等
"线性代数-方法导引"
这本书比上面那本可能更容易找到,里面的题目也
更"实际"一些.值得一做.
另外,讲到矩阵论.就必须提到
4.甘特玛赫尔"矩阵论"
' k- y, P4 ~  D9 H我觉得这恐怕是这方面最权威的一本著作了.其中译者
3 L& V3 h% |2 G" e; a6 g3 ~是柯召先生.
1 Q/ Z' x' t4 t在这套分两册的书里面,讲到了很多不纳
9 Q# T9 v( t. g$ K5 i入通常课本的内容.举个例子,大家知道矩阵有Jordan
8 _6 s. C3 |5 I& W5 f- Z7 S标准型,但是化一个矩阵到它的Jordan标准型的变换矩
阵该怎么求?请看"矩阵论".
这书里面还有一些关于矩阵方程的讨论,非常有趣.
总书库里有.
- ~) Y7 [0 i! n2 ?- z图书馆里面还有一本书的名字和矩阵论沾边.
6 j6 E+ L; y( n# G& \5.许以超
"线性代数和矩阵论"
. F3 {- R! E0 D7 [虽然许先生对复旦不甚友好(高三那会他对我说要在中国
: g- s; V2 X2 @- ~# V# p( Y9 ?$ l; c念大学数学系要么去北大,要么去科大--他是北大毕业的,
现在数学所工作--我可没听他的),但是必须承认这本书还
是写得很不错的,习题也不错.必须指出,这里面其实对于
空间的观念很重视.不管怎么样,他还是算华先生的弟子的.
/ w1 `- K( d( P' f" }+ {% }  
6.华罗庚
! b8 G1 E5 ?2 ]: I: {0 M"高等数学引论"
华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具一格,在
矩阵理论方面他也有很好的工作.甘特玛赫尔的书里面你
% e) L9 j' W# }/ y' H只能找到两个中国人的名字,一个是樊畿先生,另一个就是华先生.
( H6 E2 V; z* P- ?4 D; R% |. B可能是他第一次把下述观点引进中国的数学教材的
5 T: I5 x$ J9 `6 a/ l  Y(不记得是不是在这本书里面了):
& {+ v! r/ q) v/ g( @  ]2 jn阶行列式是n个n维线性空间的笛卡尔积上唯一一个
把一组标准基映到1的反对称线性函数.
6 c% e1 Q, T( ]& K. s8 T  D这就是和多线性代数或者说张量分析的观点很接近了.
3 J% r4 u7 k, J: `: @高等代数的另外一种考虑可能是更加代数化的.比如
7.贾柯勃逊(N.Jacobson)
Lectures on Abstract Algebra ,II:Linear Algebra
GTM(Graduate Texts in Mathematics)No.31
("抽象代数学"第二卷:线性代数)
- p& ?7 ~* n# U/ T) B" M0 L# s* W( K这里想说的是,这套书的中译者黄缘芳先生,大概数学系里面
! K/ J* f, A& z) y2 Q已经没多少人还记得文革前复旦有这么一位代数学教授了.
此书英文版总书库里有,中文版(字体未完全简化)理图里有.
( w0 i1 ^" W( v+ J8.Greub
Linear Algebra(GTM23)
$ f1 I$ M/ h5 @9 E这里面其实更多讲的是多线性代数.里面的有些章节还是
: I' B* G5 F. u+ L6 @9 U值得一读的.
  
* H/ E2 s5 V" a# n; g; o) J) t还有两本书我觉得很好,不知道图书馆里面是不是有:
! ~' D) C1 h: @, t' ^  X9.丘维声
( L3 l2 h  m* O( t0 I7 R* H"高等代数"(上,下)
北大94级的课本,相当不错.特点是很全,虽然在矩阵那个方向
没有上面提到的几本书将得深,但是在空间理论,具体的说一些
几何化的思想上讲得还是非常清楚的.多项式理论那块也讲了不少.
10.李炯生,查建国
% m  `7 D6 \- A: d"线性代数"
这是中科大的课本,可能是承袭华先生的一些传统把,里面有一些
2 c  [) Z8 Z* B$ v) u  I内容的处理在国内可能书属于相当先进的了.
" X# n9 u- x6 I4 }" e! K+ ]2 p, d3 m  
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2 E) `- w+ `. n2 \; @6 |  J
/ }7 ?9 }" ~6 M8 t. D; @常微分方程部分：

从常微分方程开始,数学课就变成
没底的东西,每一个标题做下去都
是数学研究里面庞大的一块.
对于一门基本课程应该讲些
% G, q. ^) a; ^6 Y' S7 ?. V什么也始终讨论不断.
7 y& k/ c4 `; T: X9 Y4 Y3 y7 b# `这里我打算还是从现行课本讲起.
常微分方程这门课,金福临先生
和李迅经先生在六十年代写过
* V" e1 ?7 u- k& S/ I5 W8 \一本课本,后来在八十年代由
控制那一块的老师们修订了
一下,变成第二版,就是现在常用的课本.
, s/ f: J0 b0 P1 n/ K上海科技出版社出版.
应该说,金先生他们的第一版在今天
看来还是很好的一本课本(这本书估计
受了下面的一本参考书
的不小的影响), 该书在理图老分类的
那一块里有.
; w% g& @: i- i) L3 `% t, c$ f( C但是第二版有那么点不敢恭维.
不知为什么,似乎这本书对具体
$ p' t' }' l; _方程的求解特别感兴趣,对于一
些比较"现代"的观点,比如定性的
" d# u- x0 N- n* u讨论等等相当地不重视.最有那么
0 S" z7 P0 {# o: J. d3 o2 Q3 O点好笑的是在某个例子中(好象是
介绍Green函数方法的),在解完了之
6 Q1 L% v1 X$ M2 L后话锋一转,说"这个题其实按下面
的办法解更简单..."
  w3 ~/ J, y' v# g6 \- b9 l7 ?而这个所谓更简单的办法是根本不具一般性的.
  
现代数学的一大特色即是已经
完全建立了一套自己的表达方式.
8 s. i& a$ k) O没有一个学科象数学这样创造了
# ]) a8 o) S) }# p1 u) v这么多的概念.
+ x+ j3 j6 Q# i1 D4 G$ w+ N现代数学的传播的一大困难也在
1 x. c% Q# y4 o- }4 W. m2 Q与此,要向一个非本行(哪怕是
  @- `# m: v* P8 e1 F# F数学里另外一个分支的专家)解释
清楚一个概念恐怕也要费上半天口舌.
: j$ O$ j2 O( R: R但在另外一方面数学是如此有用,
而且数学的抽象性使得一个数学
观点往往可以表征其它学科的许多
看似毫无关系的对象.所以现代数学
还是挺值得一学的.
自学不是一件容易的事情,特别是自学数学.
1 b9 d2 d. d/ i5 {! Q1 Q3 r. N从动机上说,如果是想系统学一下大学数学系
& L8 @" M) r& x的课程的话.我的建议还是跟班听课,这比自己
7 y- u8 ^; ?$ |找书看要省力的多.在可以考虑的书籍方面,
- I) b1 _- A2 a% Z以前上海科技出版社出过一套
3 b( K# t* C" ~; ?, l1."大学数学自学丛书"
应当说编得是不错的.
8 E8 a9 s6 y1 a至于具体该怎么学,这里我不敢多说,建议参考
2.赵慈庚, 於ρ*
"大学数学自学指南"
赵先生是上面那套书的主编,这本书基本上
以上面那套书为蓝本,也给出了一些参考书.
关键是对每一门课的具体内容都有一个详细说明.
9 M' p) _. J/ E* ~0 v% z5 Y好象是高等教育出的.
8 m9 \5 V+ h+ P2 k: `& S' ^; I+ r  
! W, O: J( {3 @+ M% D下面转到欧美方面,
* a# H7 V, x1 r- Y+ Q2 ]3.Coddington & Levinson
"Theory of Ordinary Differnetial Equations"
9 F1 s! W$ k+ V0 H( Q这本书自五十年代出版以来就一直被奉为经典,
; W4 Q2 ^, `5 _+ Z9 }  B$ p* D数学系里有.说老实话这书里东西太多,自己看
着办吧.
' q" k$ r$ |2 R+ }2 O比较"现代"的表述有
4.Hirsh & Smale
"Differential Equations ,Linear Algebra and
Dynamical Systems"
" [4 c; J* Q( B(中译本"微分方程,线性代数和动力系统")
这两位重量级人物写的书其实一点都不难念,
2 w, l7 b$ a; H! l6 r非常易懂.所涉及的内容也是非常基本,重要的.
关于作者嘛, 可以提一句,Smale现在在香港
) v4 |6 E" r6 l, L$ P% g! o4 a城市大学,身价是三年1000万港币.我想称他
: k* D/ Y2 H; |  G' K* o2 I* h为在中国领土上工作的最重要的数学家应该
没有什么疑问.
图书馆里有中译本.
  
; Y+ ~$ X/ A( B) `& S' Q5.Arnol'd
% x2 P! r9 `1 H* U5 F5 A. R; G"常微分方程"
' `0 O; |# e" v必须承认,我对Arnol'd是相当崇拜的.作为Kolmogorov的学生,
他们两就占了KAM里的两个字母.他写的书,特别是一些教材
以极富启发性而著称.实际上,他的习惯就是用他自己的观点把
相应的材料全部重新处理一遍.从和他的几个学生的交往中我
  e6 Z0 }& y4 u. C6 y8 v也发现他教学生的本事也非常大.特别是他的学生之间非常
$ i2 Q  T$ \3 T5 v# }) T喜欢讨论,可能是受他言传身教的作用吧.他自己做学生的时候
) S7 H+ y3 |2 J8 b就和其它几个学生(都是跟不同的导师的)组织了讨论班,互相
教别人自己的专长,想想这里都走出来了些什么人物吧:Anosov,
Arnol'd,Manin,Novikov,Shavarevich,Sinai...由此可见
互相讨论的重要性.从学术观点上说,他更倾向于比较几何
" N" l* h4 P' R- s/ b, r& r化的想法,在这本书里面也得到了相当的体现.近年来,Arnol'd
$ Y2 R/ G- _: [% y% O) ]+ j对于Bourbaki的指责已经到了令大家瞠目结舌的程度.不过话
7 I" x4 [3 B8 @. _* E+ b说回来,在日常生活中他还是个非常平易近人的人,至少他的学生
们都是这么说的.
$ _' p( ]6 T1 [  G7 q这本书理图里有中译本,不过应当指出译者的英文水平不是很高,
4 o0 v$ G  ~2 g+ @2 ^8 K竟然会把"北极光"一词音译,简直笑话.
再说一句,Arnol'd的另外一本书,中文名字叫"常微的几何方法...."
的,程度要深得多.
5 r+ u" `. l- x* `$ ]$ D4 v; P- B9 F看了半天,讲来讲去都是外国人写的东西,有中国人
自己的值得一看的课本吗?答曰Yes.
) ], z% q+ }; `+ f7 D; `( b6.丁同仁,李承治
0 S0 S1 ^$ ]2 I+ e6 K4 G, y& F"常微分方程教程"
这绝对是中国人写的最好的常微课本,内容翔实,
观点也比较高.在复旦念这本书还有一个有利的地方,
1 v& {" n( K. K6 x* h袁小平老师是丁先生的弟子,有不懂的话不愁找不到人问.
附带提一句,理图里面有这书,但是是第一次(?)印刷的,
* W5 M; Q/ T8 C1 [/ p里面有一个习题印错了,在后来印刷的书里面有改动.
+ z9 A1 j' D0 {" V  
再说一句,就是真的对解方程感兴趣的话不妨去看看
7.卡姆克(Kamke)
常微分方程手册,那里面的方程多得不可胜数,
理图里有.
9 v3 H* ]$ F5 D6 e+ \  p对于变系数常微分方程,有一类很重要的就是
和物理里常用的特殊函数有关的.对于这些方程,
0 N/ j; o. T  s" J3 K8 N2 A/ Q: w) A& ^现在绝对是物理系的学生比数学系的学生更熟悉.
' q, D! x. R8 N- l# y3 g" r- T% }我的疑问是不是真有必要象现在物理系的"数学
物理方法"课里那样要学生全部完全记在心里.
事实上,我很怀疑,不学点泛函的观点如何理解
5 r+ k$ a( n( c' m; S$ p这些特殊函数系的"完备性",象
5 V* y9 T  |4 U/ F- q8.Courant-Hilbert
+ g; m+ L& d& t+ m# d! u' a"数学物理方法"第一卷
可以说达到古典处理方法的顶峰了,但是看起来
并不是很容易的.我的理解是学点泛函的观点
  P; E. w5 g' I* {- o! E# X可以获得一些统一的处理方法,可能比一个函数
一个方法学起来更容易一些.
而且,
' X5 B9 {  `$ C9.王竹溪,郭敦仁
"特殊函数概论"
的存在使人怀疑是不是可以只对特殊函数的性质
, C* c$ I. {' O/ _7 G% H" j, V- `5 s4 n了解一些框架性的东西,具体的细节要用的时候去
查书.要知道,查这本书并不是什么丢人的事情,
( f  `% d8 M, f, G6 ?3 F  E" d; ]4 M1 l看看扬振宁先生为该书英文版写的序言吧:
"(70年代末)...我的老师王竹溪先生送了我一本刚出版的
9 ?+ F& ]! j  T" i7 c: ^& {'特殊函数概论'...从此这本书就一直在我的书架
- Y8 d! Y4 r. \1 Q4 X上,...经常在里面寻找我需要的结论..."
连他老先生都如此,何况我们?
上面这两本书理图里面都有,9.的英文版系资料室
7 H5 Z6 T" e' C3 m2 x0 W有一本.
1 I2 ]/ ^: ^5 J  
& [* s! ]! X$ P, K下面开始说参考书,毫无疑问,
我们还是得从我们强大的北方
邻国说起.
1.彼得罗夫斯基
2 j9 N/ |) j5 W. M8 V' h: h"常微分方程讲义"
在20世纪数学史上,这位前莫斯科大学校长
占据着一个非常特殊的地位.从学术上说,他
在偏微那一块有非常好的工作,五十年代谷先生
去苏联读学位的时候还参加过他主持的讨论班.
; \' j6 i3 v, c) x他从三十年代末开始就转向行政工作.在他早年
的学生里面有许多后来苏共的高官,所以他就
. d7 q* u5 H2 C* d利用和这些昔日学生的关系为苏联数学界构筑了
一个保护伞,他本人也以一个非共产党员得以做
) ~- @2 w% |- V) v3 ~9 H到苏联最高苏维埃主席团成员.下面将提到的那个
& g$ I6 |6 ?1 }) N! R8 B天不怕地不怕的Arnold提起他来还是满恭敬的.
5 T4 F0 \: W) Q3 }9 ]他这本书在相当长的时期里是标准教材,但是可能
和性格,地位有关吧,对此书的一种评论是有学术
( x5 \4 {1 R$ \官僚作风,讲法不是非常活泼.
  P; h' Q3 \' Z8 O; b" m2.庞特里亚金
8 l7 z8 |/ y2 C- J) G$ N"常微分方程"
* c; _8 X( o- P% `庞特里亚金院士十四岁时因化学实验事故
双目失明,在母亲的鼓励和帮助下,他以惊人
的毅力走上了数学道路,别的不说,光看看他给
( i3 L" |3 r2 X4 h! M后人留下的"连续群","最佳过程的数学理论",
你就不得不对他佩服得五体投地,有六体也投
下来了.他的这本课本就是李迅经先生他们翻译的.
, l- z/ y$ m5 y2 \1 K. z+ w6 B4 T1 H此书影响过很多我们的老师辈的人物,也很大的
! l/ w% M: ]# O5 j0 T1 p影响了复旦的课本.如果对没有完全简化的字
& Z' I# V! U6 }0 F7 A1 P不感冒的话绝对值得一读.
( N4 ~. W/ @  ^( w3 f5 e/ z
==============================================
$ c7 f1 F) G. i1 |9 ~- s; P
复变函数部分：
  
1 _) O4 a( M) O9 \' M单复变函数论从它诞生之日
(1811年的某天Gauss给Bessel写
了封信,说"我们应当给'虚'数i以实数
' P4 C# i/ t! V9 k8 f0 l一样的地位...")就成为数学的核心,
上个世纪的大师们基本上都在这一领域里
留下了一些东西,因此数学的这个分支
7 t  N5 _1 C) H: `. G6 Y5 a# V7 W在本世纪初的时候已经基本上成形了.
到那时为止的成果基本上都是学数学的学生
6 v% M0 h- A5 x必修的东西.
7 g% N6 N1 M: m, B1 J7 P3 _( X" a复旦现在这门课是张锦豪老师教.
张老师是做多复变的.毫无疑问,
" J7 |; {! _5 l  l* R; e多复变在二十世纪的数学里也
4 I3 z* }. _3 Q6 ]" \占有相当重要的地位,不仅它自身的
内容非常丰富,在其它分支中的应用也
1 @  B" H/ g; S2 |3 F8 H是相当多的--举个例子就是Penrose的
Spinor理论,基本上就是一个复分析的
问题.这就扯远了,就此打住.
1 |8 ]: E6 S! Y4 _5 B$ @7 o张老师用的是他自己的讲义,那
2 |; D1 I9 }8 q+ P/ M书要到今年夏天才能印出来.所以
还是这两年上过这门课的ddmm来
谈谈感受比较好.
# A5 d/ G! P: I现在具体的情况我不是很清楚,复旦
以前有一本
! b* t) F5 N7 x6 g/ E1.范莉莉,何成奇
"复变函数论"
9 h: w: i" k0 U) w7 l这是上海科技出版的那套书里面的复变.
今天回过头来看,这本书讲的东西也不是
. j& i7 _$ H, G* i% N很难,包括那些数量很不少的习题.
- t3 m& G4 f+ _; g! k0 O9 M但是做为第一次
学的课本,应当说还不是很容易的.
总的说来,从书的序言里面列的参考书目
: ^, Y3 }6 v  S0 C就可以看出两位先生是借鉴了不少国际
3 x8 i) S# }+ o4 m8 N7 l上的先进课本的.
不知道数学系的学生还发这本书吗?
  
如果要列参考书的话,单复变的课本
真是多得不可胜数,从比较经典的讲起吧:
$ w" ]5 Z" o' r8 r( w 2.普里瓦洛夫
0 ^1 b8 t6 p9 y "复变函数(论)引论"
这是我们的老师辈做学生的时候的标准
: z# j" y) p* [# s: n6 K 课本.内容翔实,具有传统的苏联标准
+ w0 V6 b( P5 ]# P5 d+ x 课本的一切特征.听说过这么一个小故事:
普里瓦洛夫是莫斯科大学的教授,一次
期末口试(要知道,口试可比笔试难多了,
9 T$ w6 N4 F4 |- n; V9 R) p8 I1 P4 B 无论是从教师还是从学生的角度来说),
8 ~8 e# J2 m% o1 G 有一个学生刚走进屋子,就被当头棒喝
! u) c/ M( L" I/ V6 S+ ?8 { 般地问了一句"sin z有界无界?"此人
& @7 x5 h( A$ S, `* z 稀里糊涂地回答了一句"有界",就马上
: V( @1 D6 i$ l( w# m, K4 W- [& b 被开回去了,实在是不幸之至.
3 y  K: s& O8 _( G) n 这书不在理图就在总书库里面.
1 A" p: O  W, D3 @6 q3 i1 M 3.马库雪维奇
- S- w3 V/ _: } "解析函数论(教程?)"
5 \  h! n2 ^* g 这本厚似砖头的书可以在总书库里找到.
* m* |/ {) z1 N6 R 它比上面这本要深不少.张老师说过,
以前学复变的学生用2.做课本,学完
后再看3.,然后就可以开始做研究了.
# x, z3 N- o$ Q$ x- O, D 这本书的一个毛病是它喜欢用自己的
  y+ P' M+ M) N5 o/ n 一套数学史,所以象Cauchy-Riemann方程
( F1 {* u8 s" T* H3 V9 P 它也给换了个名字,好象是Euler-D'Alembert
吧!
  
再说点西方的:
+ E/ \- v1 }. J; a4.L.Alfors(阿尔福斯)
"Complex Analysis(复分析)"
+ P! l$ q$ M* h5 h5 |: ~这应该是用英语写的最经典的复分析教材.
Alfors是本世纪最重要的数学家之一
(仅有的四个既得过Fields奖又得过Wolf奖的
2 ]4 F, h$ A. H人物之一),单复变及相关领域正好是他的专长.
他的这本课本从六十年代出第一版
开始就好评如潮,总书库里面有英文的修订本,
理图里面是不是有中译本(好象是张驰译的)
6 i. V2 V& t; Y% j, {2 M记不清了,建议还是看英文的.
这里需要说明的是,复分析在十九世纪的三位
代表人物分别对应三种处理方式:Cauchy
--积分公式;Riemann--几何化的处理;Weierstrass
5 _) z+ C. z# Z--幂级数方法.这三种方法各有千秋,一半的
4 ?' x0 b5 W: @8 b& ?课本多少在其中互有取舍.Alfors的书的处理
/ |$ t* b, x% n! C: L可以说是相当好的.
5.H.Cartan(亨利.嘉当)
"解析函数论引论"
- n0 |. P. Q  n' E4 F: Q5 ?这位Bourbaki学派硕果仅存的第一代人物
& d& S4 M. U6 s# _在二十世纪复分析的发展史上也占有很重
要的地位.他在多复变领域的很多工作是
开创性的.这本课本内容不是很深,从处理
方法上可以算是Bourbaki学派的上程之作
(无论如何比那套"数学原理"好念多了:-))
  
' f% R" F, ]2 `% p) d6.J.B.Conway
"Functions of One Complex Variable"(GTM 11)
"Functions of One Complex Variable,II"(GTM 159)
(GTM=Graduate Mathematics Texts,
7 t% g0 l9 q8 Z$ ]7 u是Springer-Verlag的一套丛书,后面的数字是编号)
第一卷也是1.的参考书目之一.作者后来又写
$ [6 A2 F/ e. D: H; ^  L( ^了第二卷.当然那里面讲述的内容就比较深一点了.
. J, o+ h! e) {0 p  M这本书第一卷基本上可以说是Cauchy+Weierstrass,
$ ?6 l& g. j; _& f) L对于在1.中占了不少篇幅的Riemann的那套东西
& N- T% F) a# f3 k要到第二卷里面才能看到.
# i4 f' D9 L* D( E/ m7.K.Kodaira(小平邦彦)
/ ?5 z1 U2 n: F( m+ h"An Introduction to Complex Analysis"
这就是四年前张老师给我们94理基的7个人开课
是用的课本.Kodaira也是一位复分析大师,
也是Fields+Wolf.这本书属于"不深,但该学的
) j( X7 h1 w3 k3 J5 `2 j基本上都有了"的那种类型.总书库或系资料室
有.需要注意的是这本书(英译本)的印刷错误
相对多,250来页的书我曾经列出过100多处毛病.
' E6 T5 u& ~5 p: r& z; _# K. q由此我对此书的英译者F.Beardon极为不满,
因为同样Beardon自己的一本"Complex Analysis"
$ d7 Z* ]$ V6 P8 l- x7 _6 `我就找不出什么错.
9 q+ E1 ?8 k4 o% u$ F' I6 z7 d. E0 M" p2 Q  
: ^, g" m2 A$ X% x# O人家的课本基本上就是这些了.下面说说习题
9.G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的
"数学分析中的问题和定理"
4 J! Y8 j; ^$ {; S, V( r( K第一卷的后半段就是单复变的相当高质量的
9 j" w1 N7 Z0 U5 ]习题,第二卷的大部分也是,只不过那就有点
- X" B% p7 q6 _1 a4 I太过专门了而已.看看这本书的序言就可以多少
+ _4 {% J3 ~$ G! V体会到单复变的地位了.一般来说,里面的题目都
有答案或提示,不过我以为一般来说还是可以
独立做出来的.
10."解析函数论习题集"
3 G1 `1 I$ ~8 h" O; n; _实在不好意思,作者(大概是三个苏联人)的名字
3 z5 y% ^% F$ F% L- d, m# T忘了,这本书里面的题目相当多.
理图里面有,系资料室有一本英文的.
其它的书我认为可以翻翻的包括
11.张南岳,陈怀惠
"复变函数论选讲"
这是北大出版的研究生课本,基本上可以说和
; {7 N$ ?* c: W# E, L; l上面提到的Conway的第二卷属于同一水平.
' k9 M4 n8 ]. y6 E2 ]! F+ g从内容上来看,
第一章"正规族",第二章"单连通区域的共形映射"
都是直接可以看的,第五章"整函数"同样如此.
5 ]2 X5 b% H4 B0 `看一点第七章"Gamma函数和Riemann zeta函数"
2 R9 Z6 ~4 s; y# S, o& g& a* g: r(这部分内容在6.里面也有),然后去看
2 k' |# I3 x2 L0 H, E12.J.-P. Serre(塞尔)
"A course of Arithmetics"(数论教程)
第二部分的十来页东西就可以理解下述
Dirichlet定理的证明了:
  ]8 C. N2 W. ^) L"a,b互素,则{am+b}里有无穷多个素数"
Serre也是本世纪杰出的复分析,代数几何,
+ y' n3 w& G1 Q7 c# M5 Q( S代数专家.他28岁得Fields奖的记录至今还
8 N1 E* K1 s; W% {; y8 A没有人能够打破.他写的书一向以清晰著称.
  
发信人: unix (  ), 信区: mathematics
! Q: k; b6 ]) o+ H. p5 o偶记得国内的复变教材还有北大庄圻泰的<<复变函数>>, 不记得是不是和张南岳合
写的。应该是不错的， 习题较多。
' D( c2 _: k7 `$ s科大严镇军也有一本<<复变函数>>也不错。
其他的复变书都大同小异，偶还记得有本钟玉泉的馆藏考贝最多。
: m7 [. w) P  q  P' h: `$ D" Y  
  T; \* \3 G0 J! | 在不牵涉到复流形理论和多复变的情况下,
( `4 r9 K4 u2 e. c" v8 I+ u6 l; x 理图里面还有
' Q9 y& l! [3 O  K 13.庄圻泰,何育瓒等
& H/ G# z. j; t9 S8 Q "复变函数论(专题?)选讲"
$ _+ D7 O; C' t* b# |: f 差不多的题目应该有两本,一本肯定理图
% M% M+ B0 G. p3 f& a& m 里面是有的,比较薄,从Cauchy积分公式的
% x$ T' e! e# P# B# _ 同伦,同调形式讲起,属提高性质.另外一
本记忆中就觉得太专门了点.
5 ~0 ^! y4 J' x* B! ~) k9 [ 除此之外,讲单复变的还有两本书,
不过可能第一遍学的时候不是很适合看.
' E5 N/ ?( W: H6 G! m  J5 Z 图书馆里面都有.
14.W.Rudin
1 _/ [) f) s' n% R6 `( p "Real and Complex Analysis"
: F$ q2 k9 \0 p) | 必须承认,Rudin很会写书,这本书里面他把
$ @- u9 Z" U, y4 f! p5 a1 B 对应与我们的复变,实变,泛函的许多东西
都串在一起了.用泛函方法处理复变的基础
是某一个Riesz表示定理,在复旦的课本里面
你要到研究生的泛函课本里(还不一定教)
" v) h2 Q# g- K& V/ d, L8 H9 c 才能找到那个命题.所以还是到学泛函的时候
再谈吧!
15.L.Hormander
" h2 |8 F3 ]0 [( z  r "An Introduction to Complex Analysis in Several Variables"
: ?% F5 j/ T/ z' j 这是本标题下出现的第三位Fields+Wolf的人物.
5 I# ^5 m4 S* E( a( V4 C4 F: t5 ?, B6 A 他的这本多复变的课本也是经典,其工具主要是
5 }6 O3 m( v7 F3 T, R8 i8 P 微分算子的L^2估计.这里有用的是它的第一章,
可以说第一次看这部分讲单复变的内容一般都会
# Y+ W( i, S0 t* T, c  n 有一种耳目一新的感觉.讲个细节,就是Cauchy
积分公式对于一般可微函数的推广叫Cauchy-Pompeiu
公式,基本上多复变的课本都会提到而单复变的
书都不讲.其实只要你看一下它的形式就会知道
这个公式的用处是很大的,不妨试试拿它来算一些
! G# c4 J: g3 z, q8 {) ~' l 奇异积分.
  
16.Titchmarch
' t: C% u8 V4 x' a"函数论"
这是一本老书,相当有名.书中一半多的篇幅是讲复变的,
4 d# V& p; h( _/ f看看可以知道二十世纪上半叶的函数论是什么样子.
除此之外的意义是,程民德先生在他给陈建功先生做的
7 I' \; g0 _; n& R2 u传中写到:"(三十年代的浙大)陈先生开的复分析课程
几乎包括Titchmarch函数论除实函数外的全部内容.."
关于陈先生这位对今天复旦数学系的地位有至关重要
: t* S* T  v; Z- g8 C, c影响的先驱,等说实变的时候再谈吧!
17.戈鲁辛
"复变函数几何理论"
这本书也很老了.但是这本书的价值并不因时间的推移而改变.
  Y& E3 }+ q2 j' I& V1 t7 V+ s作者也是很好的数学家,夏道行先生当年在苏联做得
最好的工作之一就是解决了戈鲁辛的两个猜想.
总书库里面应该有,标题可能略有出入.
最后讲一本书,不知道复旦有没有:
( h; t: c. k5 G. p+ y17. R.Remmert
"Complex Analysis"(GTM,reading in mathematics)
1 y. ?6 B& @& m+ @. ZRemmert是德国的多复变专家,他的这本书一点也不深,
其最大特色是收集了很多历史资料,把许多概念的
来龙去脉交代的异常清楚.
  
& g! ~9 E) A8 j' B2 P  @==============================================
7 r% y. m: j3 x( A3 z- ?
1 G1 [  Z# G. q( o& ^4 l' b7 d* l组合基础部分：

这门课没读过,不过如果现在的课本还是
1.I.Tomescu
0 l* f! Z% D3 t1 G5 v1 t+ f"组合学引论"
的话,倒还是想说两句的.
. H0 i. u  y- h: ^! }( Z# c首先,这是本很好的书,不管上不上这门课都值得一读.
其次,这本书的习题不是很好做的,特别是没有答案:)
) U" `" C0 f, j7 C$ U(严肃的说,当你看到许多习题后面都标有人物,年代,
, |& m' A6 k) H9 B就该知道这些结果不是那么平凡的了)
4 j% s. @8 P. r' G( ~+ D作为补充,可以考虑
4 \3 h+ Q& J/ m5 |) W, g9 i8 Z7 f2.I.Tomescu
"Problem in graph theory and combinatorics(???)"
这本书有比较详细的提示和解答,
$ }& @$ U5 k6 {( O( y4 E) p: b里面的题目也非常好,
/ x3 f& ~; I" _4 Y; X高二的时候曾和一个哥们把里面的题目抄了一遍
  g* y5 d1 j5 [& q(当时条件简陋,没法复印的说...//sigh).
不过复旦是不是有我不是最清楚.
5 M1 n( N2 f" Z! V/ W但是我可以肯定的是,下面这本书总书库里面
# m" j6 a% A7 m1 _有很多:
3.Lovasz
"Problems in Combinatorics(?)"
( x/ K' N( \7 K$ b' i; g这是本相当好的习题集,作者Lovasz是
$ B% x* {" h( j9 w$ G* D: @9 j唯一一个得过wolf奖的组合学家.
唯一的可能有麻烦的地方这本书的块头大
( G& B+ h7 m2 A7 y了点,不过千万不要被吓倒!
) h+ [8 c4 |3 N3 `5 e/ t, }
8 p+ i/ p: _' g3 G$ ?: l/ I+ W==============================================

实变函数与泛函分析部分：

这是数学系的学生学到的第一门
完全属于二十世纪的课程.
这门课程的重要性是不言而谕的.
对于这门课程在中国的发展,
- {) A6 i$ I: v许多和复旦有密切关系的前辈都
- ~" U. b* I2 t做出过重要贡献.
2 n8 E1 K/ ~, Q& f: w# y5 S! m在复旦开实分析课的第一人毫无疑问是
陈建功先生(1893-1971).作为中国现代数学的
先驱者,他在1914-1929年间三赴日本学习
现代数学,是在日本获得理学博士学位的第一个
外国学者.此后他回到浙大,和31年回国的苏先生
一起为中国现代数学的发展做出了极其重要的贡献.
即便是在抗战最困难的时期,他们也没有放弃学术研究.
李约瑟当时称赞西南联大和浙大是东方的Oxford 和
Cambridge,陈先生在浙大的大弟子程民德先生说到
"这一光辉的称号,可以说是用难以数计的微弱的
5 s9 `7 w* ?  P3 z5 x8 ~5 i3 j6 G: G桐油灯光所照亮的".程先生为陈建功先生在
8 i2 U* h# h* ?1."中国现代数学家传"(第二卷)
% P+ A9 I; k' U% L% f里面做了一篇传记,不可不读.
- h, u, T& w9 D; L# i陈先生在浙大担负着极重的教学任务,在五十年代
- b4 V4 k  K/ l/ M- t# D他把历年使用的讲义遍成书出版,这就是
. a. ]( [& A- [) T2 l% q2.陈建功
"实函数论"
, L. x! N- `) w& x. H. ^5 A今天看来,这里面的内容是相当古典的,
但是其中很多东西的讲法到今天还是很好的.
4 U% `" y6 h$ z: z# W陈先生门下弟子无数,早期(20年代)的学生
包括中国现代数学的另两位重要人物王福春先生
和曾炯之先生.后来从浙大到复旦,我们可以列出一串
长长的名单:程民德,叶彦谦,秦元勋,张鸣镛,夏道行,
龚升,李训经...
前校长杨福家先生在某次会上说过"复旦人不会忘记,
五十年代,复旦造了两幢小楼,一幢是给陈建功先生的,
一幢是给苏步青先生的,正是他们使复旦的数学变了样...."
& I/ k: Z& A" J那两幢房子现在还在第九宿舍里面.一幢苏先生家人还住着.
另外的那幢在陈先生58年搬去杭州以后就空着,据说曾有
1 p/ O3 j# C' l( j) K  m! O4 t某位今天在复旦也是大名鼎鼎的人物搬进去过,但不久就因为
! H! ~6 |" Z& V实在"摆不平"又搬了出来--陈先生和苏先生的地位可见一斑.
  
( ?& v8 T% ~1 u2 W今天在数学系里还能找到陈先生的一些遗迹,
比如那套Gauss全集就是陈先生出让给浙大
图书馆的(见内页题字)
6 @/ U2 T: T0 N1 U现在用的课本是
3.夏道行,严绍宗,吴卓人,舒五昌
  r# R2 X  S9 S$ L. {"实变函数论与泛函分析"
! {( A+ C: t; Y/ I" I, |* s8 `第二版,上,下册
这是,在我看来,复旦为中国的数学事业
贡献的最重要的课本.从1978年第一版
出版开始,这就是中国最标准的实变与
泛函课本.受益与此书的学生不可计数.
夏先生是陈先生五十年代初的研究生.
当年陈先生开实分析课的时候夏先生
做助教,也是跟班从头听到底(和今天CS的TA的
要求差不多,不是吗?*_^)
夏先生50年代中期赴苏联进修,师从I.M.Gelfand.
那是泛函分析还处于发展的初期,Gelfand
又是这个领域的泰山北斗.所以夏先生不仅
/ H1 }, N. P8 C( ~1 F在在苏联的两年间做出了相当好的工作,
而且回国后在复旦建立了一个相当
强的泛函研究小组.具体可以看
" p5 `# c- [/ A4.杨乐,李忠编
"中国数学会六十年"
5 I7 i( p) c; E4 S+ q1 r里面严绍宗先生和李炳仁先生写的文章.
六十年代初,夏先生就已经是"现代数学丛书"
4 o1 M' o9 K2 b' B- {的编委了,那时候他才30出头一点.今天的中国
2 z0 b% t8 ]4 d/ G数学界,没有一个这个年龄的数学家有夏先生当年
6 y6 T3 }7 ?( f/ _, M7 x/ H# O2 u的学术地位!
夏先生做单复变和概率的功夫也是非常深的.
4 A7 v1 z9 {+ `/ a在80年当选学部委员的时候,他的专业就写的
是这三样.

0 U. E+ S; B5 w" z8 @/ |& |& I: V6 R  
我们一章一章来看:
第一章"集和直线上的点集"
这是很美妙的东西,数学系的学生从这里
开始严肃地接受关于无限的教育.
具体的问题是教师一般都要在这一章
上面花不少时间,部分是因为这些搞脑子的
+ \7 E' |6 d3 l8 n东西学生以前根本没有接触过.我想今后
6 J# \# k9 F1 \* g7 r可能的话应该在第一二年的课程里面讲一些这一章
7 W6 B  o9 \; {' {的内容,象实数理论和极限论,等价关系,
  t, v5 s2 Z" I3 {6 C  v直线上的开,闭集,等等.这样一是可以省下很
7 M0 q% ?5 Z* p' x2 [1 y多时间,其次的确你翻翻许多数学分析的书
也能看到这些内容.
大概一定要留到这里来讲的包括Zorn引理,
: @. L+ F! r6 f9 V3 o. W在
2 V; n4 T: v( b3 p5.E.Hewitt, K.Stromberg
" L: v( u7 C5 Y  L1 @, Q"Real and Abstract Analysis"(GTM 25)
里面有相当清晰简洁的关于选择公理及其
等价命题的叙述.那里写到"The axiom of choice
does not perhaps play a central role in analysis, but when it is needed, it is
# l7 x! u6 w! Z5 ]- L$ xneeded most urgently".这是很有道理的.这个方向上扩展出去可以看
  L% j. h& d% T* F/ o3 m; [6.那汤松
3 M5 H, ?- B- X1 L. R"实变函数论"
1 Q9 ~4 n* i% F+ U" \9 U2 ~$ F; ]在下册里面还有关于超限归纳法的描述.
& M1 T3 U2 Y3 [/ T$ Y8 r这本书是徐瑞云先生翻译的.据说当年陈
" |2 [$ B7 F7 q" a# X) f4 u建功先生对他的这位女弟子的译做赞不绝口.
徐先生不幸于文革中自杀身亡.
总书库里面有.
另外,对于很多具体的点集的例子,有许多
$ Y& v4 X! E3 ?2 e书可以参考,比如
2 G+ P$ _- ~: S: r5 z7.汪林
"实分析中的反例"
6 A9 k6 u- f+ g这是本非常非常好的书,在以后的几章里面
我们也都要引用这本书.作者是程民德
" q2 M1 C. F" i9 \4 y先生的弟子.要记住的是,这不仅仅是
7 H3 ~0 [) }6 _: |  i一本讲例子的书!理图里有.
- Z) w7 D+ ?1 ^8 J; I和一些习题集和解答,比如
8."实变函数论习题解答"
; d4 J' o+ o! N2 Q1 s5 o1 f这是那汤松的书的习题解答.质量一般,
  J: M, p6 J2 G' E, Q不过好歹是本习题解答吧.
9."实变函数论的定理与习题"
. e, l; |  y1 u& t1 X) q记不清是谁写的了,应该是某个苏联人.
里面有详细的解答,质量相当高.
9 x$ S( t* B, ]7 t  

; g8 F# ]# K6 t5 ^第二章"?舛?"
这是这本书上册的核心.
测度在这里的讲法,
; V: h0 e3 L, L& R, C, n从环上的测度讲到测度的扩展,
: X1 P; D- V- {% A8 Q8 _+ {# {9 d基本上属于
/ x: O" {7 W+ u, ?4 W8 s10.P.R.Halmos
"Measure Theory"(GTM 18)
(中译本:测度论)
9 I. ?; h) ~! |- S. q3 A的框架里面.这本书实在不敢
- ]! ^5 R7 E" Y$ a0 j( C评论,自己看吧!
2 u+ W+ M( J  v+ O: N这本书里面还有一些精选的习题,
有胆子和时间的话值得一做.
集环的理论
一本相当有趣的书可以看看,
就是
11.J.Oxtoby
Measure and Category(GTM2)
这里的"category"不是指代数里面的范畴,
- }8 j7 n! L1 e, J而是集合的"纲",讲了很多有趣的东西.
现在可以来谈谈
) E/ |( ~1 G  f# i  O12.周民强
% X% J7 c7 {, T  T$ m"实变函数"(第二版)
+ R! B: }8 \3 E' f' ?这本书写得不错,总的说来最大的
+ B4 O" P; ?8 R好处恐怕就是习题很多,
而且都是能做的习题--复旦的课本
5 N8 S0 c: y* u9 ?里面的习题初学好象是难了点,
- ^  F# G4 R7 d/ ~, y1 h0 i% N5 `& k特别是在没有答案的情况下:)
7 x' X& J5 s0 ^1 {  n' `还有一本很好的书,
  A4 M1 S% L: a4 ~可惜至今只打过几个照面,
但是可以肯定的是绝对是好书:
13.程民德,邓东皋
"实分析"
我见过这书里面的一个测度的题目:
$m^*(E_1\cap E_2)+m^*(E1\cup E_2)
\leq m^*(E_1)+m^*(E_2)$,
还是很有趣的,还难住过我们的一个老师哦!
此外,上一章里面的参考书都可以搬过来.
0 Z+ W; F! C# {* c# `9 L- G需要注意的一点是,有些书是纯讲Lebesgue积分
的,比如6.12.等,有些细节上注意一下L与L-S
5 u8 S9 Z8 I0 v+ e的差别还是有用的.
  
第三章
这就是真正的实分析了.这里面应该说
  |3 C7 h4 T7 I. g: c. r每一节都是重要的.
在全面引用上两章的参考书的同时,还可以考虑
% e; K# k: _. B4 f# G下面的:
4 @: ?/ O7 i6 Z* x" G$ y14.I.E. Segal, R.A. Kunze
"Integrals and Operators"
3 t; q2 G  M  o9 \和
/ g+ _, _" v8 ^7 ?; v4 q15.A.N. Kolmogorov,S.V. Fomin
$ u5 s1 [& p- M1 h* h/ ^1 Q"函数论与泛函分析初步"
这些作者应该说都是相当好的数学家了.
比较遗憾的是一般由于课时安排等种种原因,
最后三节都不能好好讲.其实这些都是很有趣的
1 V7 |) ~3 r* D" G3 ]1 {; h东西.广义测度和R-N定理更是非掌握不可的.
最后问个小问题:
+ C. \; R" _# {! P; Z  k"L^1(R)是R上全体可积函数全体构成的空间"
7 Q, X/ V9 I( w/ J' c& X& h这句话对吗?
  
在直线(或者更一般的局部紧群上),是有可能
6 ?: l9 @6 r& k, k3 m* G( i 先建立积分理论再导出测度的.比如下面
( ^' s2 r: G$ X9 { 将要讲到的
16.夏道行,严绍宗,舒五昌,童裕孙
3 ]1 e7 f# D: y& s "泛函分析第二教程"
里面就有一些这方面的内容.
2 @# {6 N' d+ C1 [* h* H1 \: L 此外还有象
17.夏道行,严绍宗
& _/ j! L# w' W4 E8 f% f "实变函数与泛函分析概要(?)"
3 \5 O" l, M# O6 Z (上海科技出的那套教材里面的一本,
; \; a5 f& @7 G! u; ^ 理图里面有)好象就是按照先积分
7 R. M6 C: y- N0 f% J& ]/ f 再测度的办法讲的.
9 u7 Y/ J$ N0 V2 n1 q9 J0 V* V 另外用这一体系的书好象还有
18. F.Riesz,B.Sz.-Nagy
"泛函分析讲义"(Lecons d'analyse fonctionnelle)
这也是不错的书.
对测度感兴趣的话,还可以看一些
动力系统里面讲遍历理论(ergodic theory)
, I) ^! |# j0 {- A  B 的书,"那是真正的测度论"(J.M.Bony).
  
" f* e8 e( b6 q, e5 h+ p第四章
  n# s! d3 u9 w" G  ?( X; a1 Q- G从这里开始算泛函分析的课了.
& i  L+ Z& ~$ H( u8 C1 E不过这一章是不是一定要以这样的
篇幅在这里讲值得讨论.
其实很多度量空间的概念在数学分析
课里面就可以解决掉,在这里应该只要
9 S* D) \4 \- H, n0 p8 S( D7 U强调有限维和无限维的差别就可以了.
上面的许多参考书在这里一样可以用,
& ?* P( A( ^4 l& C" m! |& i还应该加上的是:
19.汪林
* z/ n+ l5 c  Y, K& [2 F& g  U"泛函分析中的反例"
第十节一般不讲,不过这东西实在是基本,
整个泛函的体系都可以建立在上面,
6 ~% W4 W! Y2 f8 j% h" c理图里面有一本
) U# V" T* P% o' W# \* z20.夏道行,杨亚立
( h% w! k9 c. e! z"拓扑线性空间"
不过那书基本上是第二作者写的,所以建议
有兴趣的化还是看下面几本
21.N.Bourbaki
"Topological Vector Space"Chpt. 1-5
* E2 r: K# B+ c布尔巴基写书是一章一章出的,
这书能一次就包含五章,实属罕见.
' y$ H( ~# ]: v5 M而且估计今后也不会有后续的内容了.
; {, T8 h7 e" F7 W) ~" ]  
GTM里面也有两本是讲拓扑线性空间这个题目的:
: d: ]7 [( E$ h7 d22.H.H.Schaefer
Topological Vector Spaces(GTM3)
和
23.J.L. Kelley, I.. Namioka
/ F: |0 x# }4 z& P  ?/ F& l1 i. K7 cLinear Topological Spaces(GTM36)
" j5 v* U/ h6 H16.里面有一章也是讲这东西的.
其它许多以"泛函分析"为标题的书也是
以此为出发点的,比如
24.S.K. Berberian
. o% X/ C; M0 `8 X$ `9 y% h"lectures in Functional Analysis and Operator Theory"(GTM15)
. r& x  g" u& ~) i8 GBerberian 也是很好的数学家,他翻译的Connes的"Noncommutative Geometry"
是一个很好的版本.尽管后来Connes自己出了个内容更多的英文本.
  W3 D2 A* L* n/ s或者
$ Q3 q8 C0 ~. d; t25.W. Rudin
0 e9 ^3 S2 _5 b" A. r5 Q2 A, k"Functional Analysis"
5 U/ [9 N( r8 h/ i这本书里面也有很多非常有趣的内容.Rudin的书都是很好的.
  R) {9 T/ y# i+ l7 q9 x9 s26.L.V.Kantorovitch,G.P.Akilov
6 h' K: Q+ |/ l% o"Functional Analysis"
(英文版系资料室有一本,中译本在理图有很多)
6 C( _9 s# _5 J不少人都说Nobel经济学奖有不少是给数学家的,
3 S! t. g# i% P: x$ x; N3 ~这话一点不错,不过给计划经济体制下的数学家恐怕
: _, ~/ G! _) B8 W就Kantorovitch一位了.这是本很清晰简洁的书,
中译本的质量也很不错.
此外还有
27..J.B. Conway
: c0 R0 _' F4 y/ w' U6 w/ K3 x"A Course in Functional Analysis"(GTM96)
  
第五章
9 }& C3 G2 @  X4 p9 _这一章讲述Banach空间上的有界线性
算子理论.这一内容的框架性著作
  ~! M; ]. z( {; H毫无疑问是
( p- G' E/ H/ E28.Dunford,Schwarz
8 p' x  U$ L7 S"Linear Operators"I
/ i, F8 Q9 M; N& n8 _这书在系资料室运气好的话能找到一到两本.
注意有一些结论是可以把Banach空间减弱
为Frechet空间的,不过好象据说实际应用
# C2 v5 j4 f! o2 W0 ~中除了广义函数空间是个Frechet空间以外
7 p5 i( I* p- P9 ~其它用得并不多.
前面列的各中标题是泛函分析的书这里
8 P: k' T8 S, k' t都可以用.
" T0 r5 k6 Z% ^* j' h汪林的书19.里面有许多有趣的例子.
/ G4 D4 V7 v/ e% u3 d不自反的空间的例子在系资料室
可以查到,应该是在某期Proc. of Nat. Acad. of Sci.上.
再补充一下前面漏掉的一本书:
9 g! c; w5 O+ D29.W.Rudin
"Real and Complex Ananlysis"
在讲单复变的时候我们已经提到过这本书了,
这里面可以看到不少实分析或者说泛函方法
3 n; z9 F* ^1 F' {# F# U) l在复变中的应用.这书现在已经有第三版了,
老的版本总书库里面有很多.
: n7 }& B6 G; U0 y. l, l0 {8 y  
第六章
6 k# b0 G# n; t  aHilbert空间由于其上存在一个内积,
! F# y- m* Q8 A可以发展的性质比Banach空间要多得多.
0 u3 V3 t" p0 d) ?1 t4 ?从空间本身来讲,线性代数学好点对
本章前面几节有很大帮助,学的过程
中密切注视维数无限导致的各种反例
5 k8 |+ p# A3 J7 d4 c就是了.
9 ?3 M: K- R/ q0 {; H" G8 o算子理论其实也一样,脑子里面清楚哪些
) O/ e5 ]+ S8 i% r8 _7 [# Y有限维的性质是可以推广到无限维的
1 b5 o, _/ o7 I. T  n对整个体系的理解很有用.
8 k- T: n& N* H0 @/ {) P本科阶段一般也就教半章,这也没有办法,
如果第四章能省下的点时间的话还是能够
讲一些算子谱理论的.
这里可以做的习题非常多,特别是
30.P.R. Halmos
A Hilbert Space Problem Book(GTM19)
2 l* D% W' H1 e* j) k算得上一本杰作."The only way to learn
1 _4 w) v! N' ]! N) Rmathematics is to do mathematics"就出自
0 A8 ~7 R7 R) \! {+ L这里.
0 ^% N! q: }2 \- e6 ]) ~+ ~  
再往下去研究算子代数的话,就实在"是没有底的东西了"(陈晓漫)
! J7 g: K9 N9 G+ w3 R在16.里面有一章讲些基本概念.
3 G6 y% P6 g+ W, I3 d这一块的文献也是浩如烟海,
0 f. {) g' b( i6 T9 F" `因为学得太少,不敢妄加评论,只想指出一本书,
8 C4 z+ ~1 @, X6 f; T$ \31.G.K. Pedersen
"C*-Algebras and their Automorphism Groups"
  v- B" _  t; F( d/ [7 L8 a5 ]这书连A.Connes都说好,我想决不会差到哪里去.
再说两句A.Connes,关于他的工作,或者说整
/ b' L- E% n  x个算子代数往后来的非交换几何的发展历史,
特别是这一分支从其开始的阶段就和量子物理
0 b) |  [0 }' P3 c, i) m# G的联系,可以看
2 J4 Y; n$ a/ J  ?# ?1 N32.Vaughan Jones(Fields 90) and Henri Moscovici
"Riview of Noncommutative Geometry by Alain Connes"
AMS Notice,v.44(1997),No.7
33.A.Lesniewski
"Noncommutative Geometry"
AMS Notice,v.44(1997),No.7
还有
" |9 l7 g( p0 O7 L- A( |34.Irving Segal
9 w2 P* d2 ~, V* h& VBook Review, Non commutative geometry by Alain Connes
1 k3 i, J, b1 R  @4 a+ u- V3 vAMS Bulletin,v.33(1996),No.4
因为
35.Alain Connes(Fields 82)
  u$ L) ]- Z' X"Noncommutative Geometry"
0 S% C7 U. o* }3 j可以说是这一块的里程碑式的著作,
(33.中甚至说今后人们会用今天看
% j6 Q8 h! J! K( WRiemann的就职演说的眼光看这本书)
/ Q5 j, @5 Z  x( f$ ^所以对于这本书的评论很多也就
; e- [) _6 |' G( i! `( _; h) I9 P9 w# o把整个分支都评论进去了,不妨看看.
  v+ ]3 H+ R9 O% [: _Jones说这书是"A milestone for mathematics.
Connes has created a theory that embraces
' V5 {5 f) T+ _5 O, Vmost aspects of `classical' mathematics
1 S( d. D& m+ _4 |; N% ~# E$ e$ }and sets us out on a long and exciting
voyage into the world of noncommutative
mathematics".做为老前辈,Segal的书评里面
有一些批评,也值得注意.
  
12.的作者J.-P. Serre成为第五位
) Y$ k. r# p- k! Q; L既得过Fields奖又得过Wolf奖的数学家.
+ W3 \# e2 g$ ]( W, ](前面四位是L. Alfors;K. Kodaira; L. Hormander;J. Milnor)
  
. Q* M) x& i! T! ?: p  G第七章
这一章一般不讲,在本科阶段不讲,
在研究生阶段也不讲,实在奇怪,不是吗?
主要问题是,就事论事地讨论广义函数
恐怕不是非常地有趣,要紧的还是这套框架
在偏微分理论中的应用.现在的状态就是
7 V. X% x# D$ H; [4 F/ X) L你在复旦数学系基础专业念四年出来可以还没
6 U1 p9 U7 n; b; T9 q8 l+ X4 L听说过什么叫Sobolev空间,尽管大家都承认
复旦的偏微是很强的...\\sigh
) @) w4 t( L: G& b& L在广义函数的标题下最有名的应该是
36.I.M.Gelfand等
$ C( }* d. ~. D% I1 a7 u"广义函数"(Generalized Functions,I-V)
大概I-IV都有中译本吧!理图里面应该是有的,
' J) V$ N) W8 _/ H2 M英文本系资料室有.从泛函的角度,据说是
第二本最有意思.
另外还有两本好书,不光是这一块内容,
2 l; ?: C& |* }从整体上讲也是很好的泛函课本
: t# L6 g5 ~2 {5 d37.K.Yosida(吉田耕作)
3 k0 _2 ]3 }. O( ]" o"Functional Analysis"
他也过两种不同"规格"的书,一本比较厚,
一本比较薄,都很好.其中有一本的第六版
去年世界图书刚刚影印.
( ]# h6 T7 o5 w, Q! M- a+ t  y38.H.Brezis
& q+ U; h/ t. w6 z) O$ A# n"Analyse Fonctionelle"
Brezis是我校名誉教授,法国科学院院士,
非线性偏微的权威.他的这本书很见功力.
; P( r( g9 k& h# a# {如果能念法语的话绝对值得一读.
在Rudin的书25.里面也讲了不少广义函数的内容,
, t9 _% o& Q) Q: \& O特别有一章讲Tauberian Theory,很有意思.
  
; T; O6 X$ D) b* G/ Y9 G4 P==============================================

& [% h9 b9 \& G) \! i抽象代数部分：

有的地方管这叫"近世代数",
9 d' R5 a7 l1 l3 n反正近不近各人自己看着办吧!
从历史上说,可以认为严肃的讨论
是从伽罗华开始的,他在决斗前夜
# W6 j# N' L4 |/ X: s- I! q& M/ O写下的那封著名的信件(里面有
8 b) T5 y" ?1 Z"你可以公开向Jacobi或者Gauss
提出请求,不是就这些结果的正确性,
而是重要性,给出意见....",现藏
法国国家图书馆).在后来的发展过程
中,代数结构话的语言逐步渗透到
; A+ V, [" M! {# \数学的各个角落.到今天这已经是
一门无处不在的分支了.
) a% a3 j7 K" L* i, T" _+ w) l不止一个老师教导过我们:
2 B# i3 ~" t1 y# c" n在复旦,你们受到的分析训练将是
很多的(充不充分要看各人的要求了),
但是代数...恐怕你们自己还要多下点功夫.
9 u+ L% }" o$ v9 Q) `, v1 |) ?现行教材是我的本家写的,
7 N) ^& k# R& ^0 |+ Z; x6 w总的说来作为初学还很可以一读,
8 q6 u% ^! K2 r/ }原因将在下面说明.
  
3 c, a! r- T/ F- J: H4 R, l北大的课本是
1.丁石孙,聂灵沼
3 `5 u% ]  [& l# y"代数学引论"
* x+ Q8 T4 R4 K  f: }, e7 ~这本书的特点和北大的那本高等代数一样,
就是没什么自己的特色,原因是这本书从
; e3 J2 P9 P3 [! U4 _  ~体例到习题在很大程度上参考了
2.N.Jacobson
0 r* s5 g4 ~/ Q+ G"Basic Algebra I,II"
, n4 `5 {* A/ b1 ?  A这书在总书库里面有不少,
3 n; \$ {* K+ _理图里面也有前面几章的中译本,应该是叫
; f2 _' I/ l! K/ _# @. A"基础代数学"吧,不过翻译质量一般.
Jacobson在代数领域也属于权威,
1 W- |% y! P& N* ?5 K* w是华先生同时代的人.这本书从观点
上说是相当现代化的,比同作者的那本
3.N. Jacobson
$ f* g0 T' e: n+ o"Lectures on Abstract Algebra"(GTM.30,31,32)
! G3 p, U2 f; S/ ](中译本:抽象代数学,共三卷,理图里有)
要改进不少.
. \1 l& A' |8 L0 S7 G1 Z! i- z3 c有兴趣的话不妨那我的本家先生的书和2.去
比较一下.
# Q) o  G7 Q4 r6 m  
从习题的角度上说,可以看
4.徐诚浩
- ]7 a- M# ]( m; p"抽象代数--方法导引"
! v: k& q, B" I; M, A) }* s0 ?这本书可以说比较适合在复旦学这门课.
可以罗列的参考书还有很多,
) k9 |- Z* |1 K& v* `综合性的课本有名气很大的
5.S.Lang
6 T7 `+ }/ |' _& D"Algebra"
8 d0 E% e# d( HLang写书以清晰著称,他的这本书还得过
. q. C, b' a& `7 E) AAMS发的Steel优秀图书奖.
6.莫宗坚
"代数学(上,下)"
* @0 y1 ?0 S$ O2 x5 E北大数学丛书里面的一本,没有很仔细地看
过,但是感觉不错.北大的一些同学对此书
推崇倍至,认为比1.写得好.
7 w# |& x7 T7 z) ~4 q* C4 E7.熊全淹
"近世代数"
这本书的好坏不敢评论,
不过这本书有个很大的特点,
就是作者收集了很多小文章,
4 E- w! o1 |. e比如许多American Mathematical Monthly
上的短文.依他开列的参考文献到
0 @1 l! g, g  o! C$ n系资料室去找,可以看到很多有趣的东西.
# V/ d& u; q( f  
' C( g2 f; _3 L3 e0 f8 O其它的就是比较专门的东西了.比如群论
就有影响过无数学者的
% d" D; [! U2 Y6.库洛什
5 D* H( H1 K* V( V) n; n9 d$ o"群论"
4 M, }( t5 x/ t: }- R* Y注意这本书第二版和第三版中译本的封面
一模一样.
& i% d4 ?" o% b# W; g5 X或者段学复先生的导师Robinson写的
+ }0 i' g# z# S2 M+ F! }7.Robinson
"A course in the theory of Groups"(GTM 80)
再有象(群,代数)表示论,环论,模论等等,都有专著,
不过我是一窍不通的了.还望这里的高手
( x" h4 y1 k: K. \( [8 U2 A8 U- f9 |多多指点.
. \; B) W/ s) E% p+ r# x1 V6 ^! a对于Galois理论,有一本
8.E.Artin
"伽罗华理论"
非常薄,讲得很精彩,绝对是本传世佳作.
9 `: H/ W1 e3 u6 ^- v  N1 H还有
9.Edwards
"Galois Theory"(GTM 101)
这本书很有趣,它是循着Galois的原始
( C% w4 \9 k/ I$ s想法写的,因此和一般通行的教本里面的
9 ], l3 v4 S1 [! _讲法不是很一样.
$ o% l8 i) y% ^) O$ I3 P
- c# G6 B" w5 I( U# g=====================================================
  
数学物理方程部分：
2 e2 C8 G1 c# w
: \! x( \% Y5 i5 @0 V学这门课的那个学期在忙着各种各样考试(比如T,G等等),
故此没能够看太多的参考书.北大的课本也没有
看过,不过据一位北大的师兄说,和复旦的课本
相比较,可能北大那边相对更注重一些解的渐进估计
等等,而复旦这里对于显式解讲得更多些.
注意在图书馆里面可以找到一本内容相当接近的书
9 c/ _3 t% `0 j! V' K! o$ f2.谷超豪,李大潜,陈恕行,谭永基(?), Ｋ文*,???
"数学物理方程"(人民教育?高等教育?)
这书的题材,难度,例题,习题等等和1.非常接近.
特别指出这本书的原因是在复旦的课本
中据我所见,只有这本是曾经出过一本"官方的"
习题解答的,那是80年代初,油印本.
# t: \/ b/ Q5 I: @能不能搞到就看各位本事了.
那本解答对于做作业是很有帮助的.
# m. [) K& o6 o3 @" k比较容易找到的书里面,
3.陈恕行,秦铁虎
5 \; Q# E- R- S3 y3 y" q4 o"数学物理方程--方法导引"
是一本非常好的讲习题的书.
8 I6 L2 R, i" W! W+ x" b+ F- m) L里面的习题如果能够全部做一遍的话,
+ S; H$ _6 v  }  ]0 u( S应付考试是绰绰有余了.
, t; I% R6 A7 b, o0 V4 v7 M  
6 c% i& h: p4 g  o' M1 Y: _# ~5 \发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics
说实在的,偏微分这个领域在过去的几十年
+ p+ c! S/ k1 Z/ a2 a) D  ^8 v# f0 J里面有翻天覆地的变化,古典的方法
和"现代"的泛函的方法有时候的确很难兼顾.
我想说起古典的,
% O# B% ?" {8 J( @8 [  C2 X$ V: F* ?4.R. Courant, D. Hilbert
/ l) t( v7 y* C6 X- }/ x! f; ^& v5 {"数学物理方法"(I,II)
可以说是毫无疑问的经典.
+ p; b& d7 ?. y7 y" X  h按照洪家兴老师的说法,
% i1 f3 v- P6 G不管椭圆,双曲,抛物里面的哪一块
这本书里面的相应章节都是经典,
问题就是这书放在一起你是没办法
* u" o: J0 m1 j+ v1 v; I当教材来学的,所以只能有空翻翻啦....
经典的教材,大概可以算
5 V7 ?$ w3 u6 x# L* ]# ]$ `5.彼得罗夫斯基
"偏微分方程讲义"
) R% _! G3 ^9 @: S& t这本书从风格上可能和他老人家那本
"常微分方程讲义"比较接近.里面的有些内容,
象Cauchy-Kovalevskaya定理,在
0 Q; S+ _+ E! ~1 m复旦的本科也好象是不讲的.
我想讲讲这个人,他其实从三十年代开始就
不怎么做东西了,主要的精力一直放在
" ?7 H- B6 @& Q3 H为苏联数学界构造保护伞方面.
( S! k/ _* z3 M% O7 V  {" [7 S, [他最后去世的时候是这个样子的,
7 Q' H; I# V. ?# ~- c" M某天他到莫斯科市委会去开会,
跟人家大吵了一架,因为基础科学
5 s) F7 ]( H7 G研究的经费的事情,结果出来的时候
在大门口突发心 」Ｈ*,他的最后一句话
4 E, ]9 j4 ], o( \6 J4 D7 q9 a是:"我嬴了".
有这样的人存在你才可以想象为什么
: q9 U' P1 K$ _1 d. T5 a) }人家的大清洗没有对科技的发展有
太大的影响.对于这个问题,建议看看
  T8 D% \6 h$ h2 i1 `6.AMS Notice, vol. 44(1997), No.4, p.432
和
8 V4 o: t$ \# K9 ?8 T2 {7.AMS Notice, vol. 46(1999), No.10,p.1217
  
8 a: y% U; b7 N还有
% T# V! r4 I4 R( H6 r8.O.A. Ladyzhenskaya
"The Boudary Value Problems of Mathematical Physics"
和5.一样,都很经典.当然你要说它们
陈旧我也没话可说.
" v, L, b: R, j. y9 x1 w既然这课叫数学物理方程,多少和物理沾点边吧,
% t1 F/ [- s9 X6 C7 s5 W在这个方向上我以为
1 ]/ y8 ^* p  i1 D( x1 N9.李大潜,秦铁虎
$ D4 E0 }) x* e- p* C7 t7 J"物理学与偏微分方程"(高教)
还是很不错的,上册已经出版,下册
% G4 A( M4 s8 I2 U也就要付印了.该书的起点并不高,
! ~& R7 K! w# j( @0 {/ |8 \所以应该比较容易看.
据说该书的责编(北大毕业的)极为负责,
认真到连里面的公式都一个个去推导的地步.
从课程设置的角度上说,其实有一些深度介于
本科课程和研究生的那门偏微基础课之间的
5 C" b( H" O4 s1 O1 v, u' h书(包括不少经典)都可以在这段时间里面看看的.
比如
9 \8 v- D; c; G8 m. P: Z8 L* X4 v10.L.Bers, F. John, M. Scheter,
2 q0 U" \- i8 y! p6 x"Partial Differential Equations"
Bers是个很有趣的人,
- p$ e) {( i5 K可以看看
11.L.Steen, ed.
"今日数学"(Mathematics Today)
里面的文章.附带说一句,这本书是最好的
- ], F+ @0 R2 }" F" V! k数学普及读物之一,绝对值得一看,
中译本的质量也不错.
  
* ~) o9 `0 s6 @: n2 g12.F. John
+ o  e6 @4 _) S+ u3 U& t"Partial Differential Equations"
这本书系资料室肯定有.
6 `+ Y0 ?" x' S; x# @! |剩下两本应该是比较容易找到的,因为世界图书刚刚
& V4 _" K7 |2 j: J& o% j) t印,虽说贵了点.不过还是值得一看的.
' w& f" n/ u  N! N! v9 M& ]13.J. Rauch
"Partial Differential Equations"(GTM128)
0 G6 k- @( }. e- c. G& @14.M. Taylor
5 u  g& Z9 Z  j+ H"Partial Differential Equations I"(Applied Mathematical Sciences 115)
& k7 V$ C- X  ?& s后面这本看前一半就可以,后一半也看当然更好:-))
0 r5 g  `9 J9 y# }" y7 n引G. Lebeau的一句话,这书比
4 z. I  r: w# t8 D15.L. Hormander
0 S( |+ i$ G  T8 K"Linear Partial Differential Operators, I"
8 y; E: C' f" p3 o要好念多了.
(当然基本上人人都是这么认为的,
只不过这位的来头比较大而已
--法国科学院通讯院士,46岁)
2 c6 G! O3 N# I9 _  
这是讲偏微分方程的课的名称.
顾名思义,就是说这里的方程原则上
7 K9 B2 g9 [+ e0 o最早都是从物理里面来的.
这个分支里面的东西丰富之至
(当然往反面说就是有时候会显得
结果比较零散).
现行课本是
3 N; w1 u& V4 K1 D( [. a5 B3 y1.谷超豪,李大潜,谭永基(?),沈纬熙,秦铁虎,是嘉鸿
# h2 Q. J: t0 ?6 O"数学物理方程"(上海科技)
这本书在这样一个水平上(指不引进广义函数,
( _! s. S. i1 Y& ]弱解等泛函里面的概念)是相当不错的.
2 W3 }- P% k/ @4 q! ?2 t注意那些经典方程的推导里面多少有一些
, E, ?3 c; i6 i近似的过程,这其实从某种意义上反应了
% n3 u% P* T  ?+ x! z所对应的微分算子的某些性质的稳定性.
比如,对于经典的波动方程,3维及以上的
奇数维成立惠更斯(Huygens)原理(这可以看作
$ F; ?/ @; ^; |/ h# X! `4 O! {经典物理的时空里面空间维数必须是奇数的一个
证据),你在其它一些书(或者说以后)可以看到,
差不多二阶双曲方程里面只有波动方程
, d4 v4 P% \% }) |: ?有这样的性质--但是别忘了,高维波动方程
+ F& a0 w0 Y: F1 I" u的推导里面是有近似的,这说明什么?
一阶偏微分方程似乎是安排在常微的最后教的,
常微的最后教不教我课不知道,有些东西还是很
, b# D' X# \1 L! s& A有趣的,象Cauchy-Kowaleskaya定理,Ekeland拿来
5 V: j1 c  b6 g证明微观经济模型的合理性,然后说他看不出有
& s! @5 f; W0 w* n* l8 i5 h存在C^\infty推理的可能--数学经济是怎么回事,
可见一斑.你能说社会活动中的数据都是按t解析的吗???!!!
  
& r' N+ ^' T3 I) u  j5 F1 |! o========================================================

拓扑学部分：
3 s) l" s; ^' i/ D7 u0 O
我拓扑学得很差(从总体上说),
因此这里我也说不出太多东西.
大概也就点集拓扑还算过得去,
我以为这一方面我们的现行课本:
1 V5 y4 g/ K( @: Y/ D5 K 1.李元熹,张国(木梁)
"拓扑学"
的前两章还是不错的.至少该讲的东西
+ p2 @7 ^2 i" t& `- N+ \2 x" Z 都讲了,而且后面罗列(我想不出还有
什么更好的形容词)了许多习题,
做上一遍是很有趣的一项工作.
$ O; d0 ^" p, }6 {7 I2 E$ E 中文的参考书里面好象
2.熊金城
* b. z* c& w0 n; C# f" W# B% o9 ~' i "点集拓扑讲义"
是比较好的.该书也有些名气.
不过要好好学,可能还是看下面的两本
比较经典的书:
3.J.L. Kelley
  |5 }; s. E3 x: e) }5 Z "General Topology"(GTM 27)
, k/ G% R0 }. V3 s! W 此书名头很响,55年出版的时候应该算得
1 J8 O* C& k9 N  [+ i, Z 上是把这一领域里面的结果做了个
很好的总结.该书是想写成课本的,
因此每章后面都有习题,按A,B,C,D,...
编号.只是....真要做起来未免有些困难.
听说过这样一个故事,就是曾有一位
华裔数学家回国讲学的时候于酒席间
说他的老师要他去学拓扑,指明看Kelley的
书,而且要习题全做.结果大家都笑了,
因为大家都明白这目标不是很现实.
我个人的经验是,在那个学期陷入各类
4 r  ~2 K2 V/ C6 ~! K 考试的重围中之前,还做了前面两三章
" o+ `% V5 o+ Y8 z. j 的题目.是比较困难,但是做起来也非常
有趣.
* Z" o! k6 o$ Y9 \0 t1 k& n  m  
再补充一本中文的书,内容和1.差不多
4.尤承业
3 }- s9 W, F/ k. D8 G: H"基础拓扑学"
% \5 v4 \; ?: d- y, D. P是北大的教材.
5.I.M.Singer, J.A.Thorp
"Lecture notes on elementary topology and geometry
(中译本:(基础?)几何学与拓扑学讲义,干丹岩译)
" ^! }2 G1 z# D6 w6 Z3 f4 m这是本极好的教材,应该
可以用深入浅出来形容吧!
第一作者Singer就是和Atiyah
一起证指标定理的那位,说是重量
+ q6 U, F$ l+ V- U/ D) T* e/ e$ f# N级人物当无疑义.
% {" ~" @& c  Z" L3 ^如果你只想查结果,我觉得可以去找
$ @8 L+ d* _) g/ s3 h- N9 z6.R.Engelking
"General Topology"
, K% i+ d. O" Y* Q这书是七十年代末写的,内容翔实,
" A& Y, A/ a( p- T7 Z" D0 U至少对我来说是有包罗万象的感觉,
当然对做这一块的人就不一定了.
  
按照萧先生的速度,大概第二章还是能
' Z( K/ u0 {9 T- O% v讲大半的.
0 S# d3 c# ^2 g# f; h' s这里属于代数拓扑的起始部分,
参考书一下子就比前面的多多了.
讲代数拓扑的书,可能
7.Greenberg
"Lectures on Algebraic Topology"
+ F3 t7 L6 h/ R属于写得很通俗易懂,
配置合理的那一类.
' s$ y6 v+ t4 p( i还有象GTM里面的
) V+ c+ F1 D3 V; r; W# w8.W.S.Massay
0 O' \* H; y/ M. f2 E"Algebraic Topology: An Introduction"(GTM 56)
6 O- _. u7 m) ~也是写得很好的书.
( @1 k2 u0 S1 I6 S( [5 f我能写的大概就这点了,
- b$ |! [( h$ s( r5 ?9 ~9 e' b还望大家多多补充.
8 n( j. z) G' Q- T1 e( j  
发信人: dhj (undercover~~卧底人生), 信区: mathematics
这个学期刚刚在学拓扑，做些补充的说。:)
拓扑学是在十九世纪末兴起，并在二十世纪中蓬勃发展
的数学分支，现在已与近世代数，近世分析共同成为
当代数学理论的三大支柱。
如果先要对该学科有一个感性的认识的话，建议看
  D) A3 S' C+ Z& C《拓扑学奇趣》
& U  s- @8 @" j. E6 {1 x+ ?巴尔佳斯基 叶弗来莫维契 合著
, r& m" v2 t5 C8 h这本书只有不到两百页，可是覆盖的面很广，也有一定
$ c( A: ^8 Z% B# J4 ~1 \' J数量的有启发性的题目。
M.A.Armstrong的《基础拓扑学》也是一本不错的书。
由于该书中的讨论范围有很多是基于Hausdorff空间，
有些是甚至是在度量空间里讨论问题的，
$ N  s# ~$ G% G  Z所以一些定理的证明就变的比较简单易懂，例如Urysohn引理。
* x4 z' W+ B4 a* |5 M$ X/ O由于侧重点不同，这本书对复旦现在的课本是很好的补充。
9 i9 {2 l! l5 I# [2 A2 D% Y' q  
7 b3 K7 `7 Y9 D; I, [======================================================

. B9 w/ ?6 O5 J以下是北大的一位师兄做的补充
数学分析
欧阳光中,姚允龙
"数学分析"
这本书在外面的口碑不好，错误不少，据
说南开的一位老师曾笑称此书的作者为"老
7 ]1 V2 s: J7 K5 o' j1 W糊涂"了。
高等代数
9.丘维声
"高等代数"(上,下)
. S3 \& W# X7 H6 ~2 X本书的作者为61(?)年的全国高考状元,他自称在教课的那一年写作
经常至夜里二,三点.
% H! P3 v  ]- P5 J4 t2 K/ ]+ |  z单复变函数
, ~2 r, l3 N0 ~+ \3 q* W2 C11.张南岳,陈怀惠
9 k) R* E' x& B$ f, b"复变函数论选讲"
这本书中的错误不少,据说陈是个很有天赋的人,但
2 m2 c, u6 j& i( R0 f: r. H7 w文革中受到很大打击,以至学风不很扎实.
( @7 H; d0 k7 C. ~8 U1 P微分几何
陈维桓"微分几何初步"
. X6 u9 D7 P8 `$ P+ Z! ^2 p这本书确实写得不很清楚,陈
还写过一本微分流形,给人的感觉是话说了很多,但
还是摸不着头脑,例如dx,dy究竟是何意
=============================================
  
' d5 Q+ h" \9 k6 c3 c大学里面念过的本科的课程,
基本上就全部写完了,
9 X8 t2 T5 p4 ~5 q7 Q感谢大家在这几个月里(默默地?)承受了
我的"酸"劲.\\bow
其实严格说来这里面除了参考书的名字
和简短的评论外,我还写了一大堆从某种
意义上说属于"题外"的话.我的想法是,
在我的意识中,数学不光是那些定义和公式,
2 r  L" j7 L& q3 _7 B数学还包括了为数众多的数学家
3 Z: ]( m* b: y5 a; p的思想,经历.仅仅局限于技术性的细节
2 V/ @# k9 ]; _1 C  V, K& b8 ?2 ]是做不好数学的,我以为.
从技术上说,大学数学系的课程还有很多
没有写到,即使写到的这些,也有很多
' [; }8 N+ q5 R. c9 i' j( u9 j需要补充,修改的地方,只不过...
我是没那心思了:-)至少在近阶段.
9 v& r" z( X3 @+ m+ y希望有兴趣,胃口,功夫,...的大侠们
0 Z4 C- z+ ?0 W多多贡献,在这里先予感谢!\\bow
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
+ X, s/ A& d' S( ]; h(为避免任何对于\\bow的数目产生
误解,文章到此分成两截)
6 C9 _( f5 z6 }1 M! M* D今年一月,在经历了三个月的情绪极端
4 w! t$ o5 U$ g1 J- O低落以后,我打算开始重新规划自己的
. @# L4 Q& H9 D2 H0 O未来(感谢上帝,这三个月总算没让我
  N. c4 Z3 ^4 b) G. Y# c精神崩溃,甚至还算干了点事情,学了点
$ j/ ?: P! F! u7 W东西,呵呵...).在处理了一些专业上的
* Q; {1 ~" n) V* d3 G5 x/ |! R/ C原则性问题以后,想着自己还能干点什么,
# U4 }& }  S2 O这时候就有想到了BBS.
BBS实在是个好地方,自从四年前在steve家
$ h9 Q2 W! ?$ R- |# f- n/ w' S上了最早的日月光华开始,已经差不多有四
& J) t7 }& ^3 b/ E# }年了.(从来没有想过,上BBS的第四年里灌的
& U# P' _% J6 H" c' _, D* x水是前三年灌的水的总和的三倍.
可能和心情有关吧!)
突然想起可以在这BBS上灌点稍微有意义
点的水,去年底写的那些94理基的故事
' m, z9 F' `# }: K从效果上说,让我很好地把心情整理了
一下.也纯数偶然,就想起来写这参考书目.
应当说,写这些东西还是花了点功夫的,
从构思,找资料,到一个个字敲进电脑,
) K1 L# {9 A3 U修修改改,一门课总也要花上一两周时间.
因此一稿三投连我自己也没有觉得有
什么不妥.好象这也不违反站规吧?
' }2 w3 F: ?2 N# s6 n写着写着也就到了今天.又是一个可以做
"结"的日子.感谢各位这几个月来对我
的关心,帮助...还有宽容,感谢shun, Setver,
zyc, steve, cavalry, doskey, anti, fit,
standby, dhj, compass, beryl, littlebaby,
. w+ h: V% l4 A' y$ Y2 e5 Sdarling, Virtual, zhmao, clamp, stoneheart,
& x) c# A1 z( z. `) q- [) omax, zypher, leifen, tiny, xdj, zych, txyz,
DblHorn, julong, shasha夫妇,fancier......
还有许多不在这BBS上的朋友,......当然,还有milka.
( L" K& D2 E, x) L+ M希望明天的太阳--无论是巴黎的,

1 p. k3 W, Y% \还是上海的--升起的时候,
大家都能有个好心情.
; i: x/ I& {( o$ k' _& Y: ~1 a& ^7 h再次谢谢大家!\\bow
6 K# B1 S/ n7 e" c; y; ]2000.6.6 2

hylpy

晕啊，此文已经在网上转载了N次了，越转越不全越变形。

弘道

谢谢楼主……辛苦啦！