数学建模方法——SPSS主成分分析法

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文章目录
% x2 s$ w4 i% ~+ d) g/ m9 D- xⅠ.主成分分析：
主成分与原始变量之间的关系：
PCA降维：
6 H1 ~& q- I% u2 x! v) v* TⅡ.SPSS主成分分析的步骤如下：
A.求指标对应的系数
1.方差图与成分矩阵：
2.指标系数=成分矩阵中的数据/sqrt(主成分相对应的特征值)
1 p$ v; y. |1 @+ V6 D3.主成分的对应的系数=特征值方差的占比/所有特征值方差占比的总和
0 {1 f( E, [) y9 n4.采用excel的公式计算指标系数
! A% O6 n  Y& E5.数据的归一化处理
% ^& {/ d2 m0 h1 l) v! g( E" Oa.操作如下：
# F* \" e1 t' L) G5 Wb.得到归一化后的数据：
c.然后将数据导入excel进行得分项的输出并排序：
B.附spss的免安装文件地址：
Ⅰ.主成分分析：
​ 主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）， 将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的一种 多元统计分析方法。

主成分与原始变量之间的关系：
0 ~7 f/ q9 D( G9 ^& ]! O# J​ （1）主成分保留了原始变量绝大多数信息。

​ （2）主成分的个数大大少于原始变量的数目。

​ （3）各个主成分之间互不相关。
( |0 S3 o" V' y* b
" d* J/ n8 F: J6 ^! u0 U​ （4）每个主成分都是原始变量的线性组合。

PCA降维：
​ 假设我们所讨论的实际问题中，有p个指标，我们把这 p个指标看作p个随机变量，记为X1，X2，…，Xp，主 成分分析就是要把这p个指标的问题，转变为讨论p个 指标的线性组合的问题，而这些新的指标F1，F2，…， Fk(k≤p），按照保留主要信息量的原则充分反映原指标 的信息，并且相互独立。

​ 这种由讨论多个指标降为少数几个综合指标的过程在 数学上就叫做降维。主成分分析通常的做法是，寻求 原指标的线性组合Fi。
, t# i2 [5 E& S0 \
Ⅱ.SPSS主成分分析的步骤如下：

) L9 K$ O: G( {% o


% W& y, [8 C/ r  O+ `

4 Q6 s* ]3 `& B. h' C



% W  G% \% Q) e/ Y
) V: u! M3 P4 E/ N6 M
$ A4 `# [4 ~# M7 B" g
1 e; e4 ^1 s" ]. O) z


6 P% j9 }+ R7 p) s( M$ S

% k7 [& c* B/ a0 W
8 m9 _4 L- R# g9 R" n5 {& U; sA.求指标对应的系数1.方差图与成分矩阵：
2 h7 T; N+ z/ O  W- {, o* H) T


7 }$ a- F; M* U& j- c% V+ t2.指标系数=成分矩阵中的数据/sqrt(主成分相对应的特征值)
3 K3 g' A4 E' i) F5 tF1=0.353ZX1 +0.042ZX2- 0.041ZX3 +0.364ZX4 +0.367ZX5 +0.366ZX6 +0.352ZX7 +0.364ZX8 +0.298ZX9+0.355ZX10
+ d7 U1 n9 n4 D: v& m6 A! v3 Y
F2 =0.175ZX1 - 0.741ZX2+0.609ZX3 - 0.004ZX4 +0.063ZX5- 0.061ZX6 - 0.022ZX7 +0.158ZX8 0.046ZX9 -0.115ZX10

(注：ZX1,ZX2,…ZX10均为归一化之后处理的数据，而不是原数据表格中的数值，目的在于统一不同的量纲。)

3.主成分的对应的系数=特征值方差的占比/所有特征值方差占比的总和
F=(72.2/84.5) F1 +(12.3/84.5) F2

1 Z1 q" m! N" u& d8 M% K4.采用excel的公式计算指标系数
' W( w, X! O, j8 d; z将成分矩阵的数据列导入excel表格。
7 g* D& ]: I; m- M
6 m0 m3 m5 w  `* u; B. B/ R: O
/ Y- X6 o. r5 q/ q然后通过Excel命令：
1 S" G6 ^4 p  ~' \

​ =A1/sqrt(主成分的特征值)

得到结果：

5.数据的归一化处理a.操作如下：


) s0 c% i2 x$ X5 w
3 F! Y' s' m; T; x& [6 X
" j, F4 ^! P7 E/ ~b.得到归一化后的数据：

$ Y7 t3 B: |6 l) U+ S
' G; g, C1 t4 Hc.然后将数据导入excel进行得分项的输出并排序：

​ 通过F1的计算公式得到F1标准下的测评得分。

- m: T2 X+ y7 x5 y" [! _

F2同理可得；

​ 最终根据F的计算式得到最终测评得分排序。

7 T6 W' g% e) o1 u) ^) t  q

5 T; F& E) K$ M( o9 m: v