浅谈函数应用问题的教学

zhangtt123

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随着社会的发展，数学已渗透到日常生活的方方面面，同时随着教育改革的不断深入，对数学应用能力的要求越来越高，数学应用成为素质教育和创新教育的极好载体，培养和提高学生的数学应用能力已成为广大数学教师所关心的问题。下面结合新教材高中数学第二章中的函数应用问题的教学，谈谈自己的一点体会。 函数知识是高中代数的主线，函数应用题求解是在掌握函数的概念及性质的基础上用函数的观点，思想方法去处理实际问题，对函数应用的研究又离不开方程、不等式、三角、几何、物理等相关内容，因而要善于沟通函数与数学本身及其他学科之间的内在联系，函数知识、实际背景、函数应用题之间形成了一种环形链，用框图描述如下：                                     分析和解决函数应用题时，应该掌握以下几种思想方法： 第一、函数思想。函数思想方法是高中数学的重要思想方法，贯穿于高中数学理论与应用的各个领域，它是用联系变化观点提取数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系，将问题转化。 第二、转化思想。转化思想是把待解决或难解决的问题，通过某种通欲演变，使问题解决或较易解决 ，最终求得原问题解决的思维方法，解函数应用题常常是先将文字语言“翻译”成数学语言，再转化为数学问题。 第三、建模思想。建模思想是通过对问题的数学量化，模型构建和求解检验，使问题获解的思想方法。用建模思想解函数应用题的一般程序用框图表示如下：    在分析和解决函数应用题时，不仅仅掌握这几种基本思想方法，还应在联系实际的基础上灵活运用配方法，待定系数法，比较法等等。本人在函数应用问题教学的过程中重视选题，注重分析，努力培养学生的应用意识，具体做法如下： 1、注重联系实际 数学被部分学生视为枯燥难学的一门学科，其根本原因是没有调动起学生的学习兴趣，而函数应用问题的教学则可以结合学生的实际生活，巧妙的设置情境，让数学问题趣味化、生活化，刺激学生的好奇心和兴趣，调动学生的主观能动性，增强学生的数学应用意识。 例1、某种商品进价为每个72.5元，零售价为每个100元，原来每天销售a个，现为了促进销售，采用每买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法销售。实验表明，礼品价值每个一元时，每天销售量增加8%，且在20元范围内，礼品价值每增加一元，销售量也增加8%。 （1）写出礼品价值为n元时，每天利润y（元），关于n的函数关系； （2）为获取最大利润，礼品价值应为多少元？ （3）假如你是商场经理，你会将礼品价值定为多少元？ 分析：利润=销售量×单个利润，礼品价值为n时，销售量为 a（1+8% n）个，单个利润为（100－72.5－n）元。   解：（1）根据题意得   y=a（1+8%·n）（100－72.5－n）   =a（－0.08 +1.2n+27.5）   （1≤n≤20，n∈N*）     （2）由（1）知：y=－0.08a（ －15n）+27.5a                 =－0.08a（n－ ）2+32a 故n=7元或n=8元时，Ymax=31.98元； （运用配方法求函数最值时注意已知条件） （3）由第（2）题可知，获取最大利润时的小礼品价值有7元和8元两种，从商场经理角度来说，小礼品价值定为8元较为合适，因为商场总利润没有改变，而顾客多得了一元实惠，这有利于树立商场的良好形象，也会给商家带来更多的商机。 由于商家这种活动比较普遍，而且学生在实际购物时，也曾遇到这种情形，所以学生看题后，兴趣盎然，情趣激增，尤其是对第（3）小题的小礼品价值确定问题，更是议论纷纷，这极大的调动了同学们的学习积极性。而在具体选择上，就体现了数学素质的高低对实际生活的影响。 2、勤动手，自制模型，借助教具分析问题。 有些涉及到实物图形的问题，学生空间想象能力较弱，无法入手，如果能够自制模型帮助学生分析问题，会起到很好的效果，有利于问题的解决。 例2、建筑一个容积为8000 ，深为6m的长方体蓄水池，池壁的选价为a元/ ，池底的造价为2a元/ ，把总造价y（元）表示为底的一边长x（m）的函数。 依题意，教具很容易找到，一个完好的粉笔盒即可解决问题，可引导学生从池壁、池底分析，进而列出函数关系式。 解：设底面的另一边长为z（m）   由题意有6xz=8000，得z= 池壁造价为a（zx+2z）×6=12a（x+ ） 池底造价为2a× = a 所以总造价为y=[12a（x+ ）+ a]（元） 3、加强学科之间的相互沟通，增强学生运用数学的意识 当前教育改革的方向之一是加强各学科知识间的综合运用。数学作为一门基础学科，不仅服务于其他学科，而且在研究数学的应用时，若能结合别的学科特点，运用别的学科知识解释其基本原理，无疑对数学应用的理解也有很大的帮助，进而对学生的综合能力的培养也将有极大的好处。 例3、一根弹簧原长15cm，已知在20公斤内弹簧的长度与所挂的质量成一次函数关系。现测得当挂重4公斤时，弹簧的长度为17cm，问当弹簧的长度为22cm时，挂重多少公斤？ 分析：由已知条件弹簧的长度与挂重成一次函数关系，则可用待定系数法求出函数关系。再通过计算即能求得问题的解答。 解：设挂重x（kg）（0≤x≤20）时，弹簧长度为y（cm），依题意可设， y=kx+b （k≠0） 由条件：x=0时，y=15 即b=15     当 x=4时，y=17 即4k+15=17   所以K= 故函数解析式为：y= x+15 （0≤x≤20） 所以当y=22时，由 x+15=22，得x=14 答：当弹簧长为22cm时，挂重14公斤。 对于物理问题，必须根据物理概念，物理知识列出函数关系式，把它转化为数学问题，再运用数学方法进行运算，其它学科也如此。 4、借助图表简化文字叙述，提高学生分析问题的能力。 应用题和其他数学习题最大的不同之处就是文字太多，其解题信息是用文字叙述的，这就决定了解应用题先要学会读题。而中学生的年龄特点决定了读题时避免不了会丢三落四，另外学生习惯于解答用数学符号或数学语言给出的规律性较强的问题，对于应用题往往是望题兴叹，有畏难情绪。为此，将整个习题按其含义分成若干个层次，归纳出层意，列成表格形式，再结合数学概念，列出其对应的数学式，最后根据中心思想找出其对应的数学模型。 例4、某地区上年度电价为0.8元/kw·h，年用电量为akw·h。经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）。该地区电力的成本价为0.3元/kw·h。 （1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式。 （2）设k=0.2a，当电价最低为多少时仍能保证电力部门的收益比上年至少增加20%？ 分析：收益=实际用电量×(实际电价－成本价) 上年度有关数据可列表如表一 表一 实际电价      用电量      成本价      收 益 0.8元/kw·h      a kw·h      0.3元/kw·h      a（0.8－0.3）元 本年度有关数据可列表如表二 实际电价      新增用电量      实际用电量      成本价      收 益 x元/kw·h       kw·h      （a+ ）kw·h      0.3元/kw·h      （x－0.3）*     （a+ ）元 解：(1)由表二得： y=（x－0.3）(a+ )元 (0.55≤x≤0.75) (2) k=0.2a时,综合表一、表二可得 （x－0.3）（a+ ）≥a（0.8－0.3）（1+20%）， 0.55≤x≤0.75         －1.1x+0.3≥0 整理得：                 =＞0.60≤x≤0.75         0.55≤x≤0.75 即电价最低定价为0.60元/kw·h仍可保证电力部门收益比上年至少增加２０％。 ５、组织学生认真完成实习作业 在实际生产和生活中，常遇到一些量与量之间的函数关系，如果能够把函数关系式写出来，就可以利用我们已经学习过的函数的知识进行研究，解决一些实际问题。组织学生到附近的商店、工厂作实际调查，了解函数在实际中的应用，把遇到的实际问题转化为建立函数关系，并做出解答，写出实习报告，这样可以极大增强学生用数学的意识。 函数应用问题是数学应用的重要内容，在教学中应给予足够的重视。培养数学的应用能力，是数学素质教育的根本任务，教师只有坚持理论联系实际，不断探索，才能不断提高教学质量。