构建数学模型解中考应用题

zhangtt123

构建数学模型解中考应用题

　　【摘要】数学应用题贯穿小学到中学的整个过程，既是数学教学的一个重点，又是难点，在新课程理念下数学应用题的题型越来越新颖，并且是中考考试的热点题型?本文在近年各地中考应用题中选择若干题型，通过构建数学模型的方法进行分析，从中探求应用题教学的方法?
　　【关键词】数学模型 中考试题 应用题 应用题教学
　　数学应用题是各地中考的必考内容，近年来与日常生产?生活相关的应用题的题意新颖，构思精妙，不仅考查了学生应用数学的意识和能力，而且是对学生创新意识和实践能力的大检查?本文拟就近年各地中考应用题中的一些题型作如下归类整理，通过构建数学模型的方法进行分析，从中探求应用题教学的方法?
　　1.构建方程模型
　　初中阶段的方程类应用题主要有：一元一次方程应用题，一元二次方程应用题，可化为一元一次方程?一元二次方程的分式应用题，二元一次方程组应用题?题型主要涉及行程?工程?商品的销售?零件的制造?社会生产及日常生活等背景问题，这是学生接触较多的类型，相对来说也是比较熟悉的类型?在构建方程模型时学生应熟悉相关问题的公式，例如行程问题的路程?速度?时间的关系式，工程问题的工作量?工作效率?工作时间的关系式，销售问题的进价?售价?利润?利润率的关系式，学生才能根据实际问题中的数量关系列出代数式，然后根据相等关系建立方程，从而把实际问题转化为数学问题?
　　例1.（2013年山东烟台） 烟台享有'苹果之乡"的美誉.甲，乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的苹果.甲超市销售方案是：将苹果按大小分类包装销售，其中大苹果400千克，以进价的2倍销售，剩下的小苹果以高于进价的10%销售.乙超市的销售方案是：不将苹果按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大，小两种苹果售价的平均数定价.若两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元（其它成本不计）?
　　问：（1）苹果进价为每千克多少元？
　　（2）乙超市获利多少元？并比较哪种销售方式更合算?
　　分析：本题是商品的销售类应用题，由题意可知要应用公式：利润=售价-进价，这也是本题构建方程模型的相等关系?
　　（1）设苹果进价为每千克x元，根据大?小苹果的利润和等于2100元列出分式方程进而求解?注意所得结果要进行"双重"检验：检验是否是分式方程根，根是否符合题意?
　　（2）先求出乙超市的利润，再与甲超市的利润进行比较大小?
　　解答本题的关键是根据题中的相等量关系构建方程模型?
　　解：（1） 设苹果进价为每千克x元，根据题意，得
　　400×2x+（3000x-400）·（1+10%）x-3000=2100
　　解得： x=5
　　经检验，x=5是原方程的根?
　　答：苹果进价为每千克5元?
　　（2） 由（1）知：每个超市购进的苹果质量为：30005=600（千克）
　　大?小苹果售价分别为10元和5.5元?
　　∴ 乙超市获得的利润为： 600×（10+5.52-5）=1650（元）
　　∵ 甲超市获得的利润2100>1650，
　　∴ 甲超市销售方式更合算?
　　例2.（2013年嘉兴） 某镇水库的可用水量为12000立方米，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量.实施城市化建设，新迁入4万人后，水库只够维持居民15年的用水量?
　　（1）问：年降水量为多少万立方米？每人年平均用水量多少立方米？
　　（2）政府号召节约用水，希望将水库的保用年限提高到25年，则该镇居民人均每年需节约多少立方米才能实现目标？
　　分析：本题是日常生活类应用题，在（1）中有两个未知量，构建方程组模型较为合理，相等关系为：储水量+降水量=总用水量?设年降水量为x万立方米，每人每年平均用水量为y立方米，根据题目中的两种情况，利用相等关系建立两个方程，组成方程组求出其解即可?
　　（2）根据相等关系：储水量+25年降水量=25年20万人的用水量，利用方程模型建立方程求出其解即可?
　　解：（1）设年降水量为x万立方米，每人年平均用水量为y立方米，
　　根据题意，得12000+20x=16×20y12000+15x=20×15y
　　解得：x=200y=50
　　答：年降水量为200万立方米，每人年平均用水量为50立方米?
　　（2）设该城镇居民年平均用水量为m立方米才能实现目标，根据题意，得
　　12000+25×200=20×25m
　　解得： m=34
　　∴ 人均每年需要节约的用水量为 ： 50﹣34=16（立方米）
　　答：该城镇居民人均每年需要节约16立方米的水才能实现目标?
　　【方法点拨】构建方程（组）模型解应用题的关键是根据题意找出相等关系，相等关系可能是相关问题要用到的公式，也可能是题目给出的数量关系，需根据题型?题意确定?
　　2. 构建不等式（组）模型
　　利用不等式（组）解应用题是初中数学的一个难点，也是中考命题的热点，尤其是将不等式（组）与方程（组）及一次函数联系的综合题型，既考查了学生应用所学知识解决实际问题的能力，又考查了学生综合分析问题的能力?找出实际问题的不等关系是构建不等式（组）模型解决问题的关键?
　　例3.（2013年呼和浩特）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？
　　分析：由题意可知，问题的不等关系是：小明的得分>90，因此，通过构建不等式模型即可得到问题的答案?
　　解：设小明应答对x道题，根据题意，得 　　10x﹣5（20﹣x）>90
　　解得： x>1223 ，
　　∵ x是正整数，
　　∴ 符合条件的x的最小值为13.
　　答：他至少要答对13道题?
　　例4.（2013年东营）在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元?
　　（1）求每台电脑?每台电子白板各多少万元？
　　（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低?
　　分析：（1）题目有两个未知量，由题意可知相等关系为：
　　1台电脑+2台电子白板凳=3.5万元，2台电脑+1台电子白板凳=2.5万元，构建方程组模型即可?
　　（2）由题目的"总费用不超过30万元，但不低于28万元"，根据这两个不等关系构建不等式组模型，求出不等式组的整数解即可?
　　解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意，得
　　x+2y=3.52x+y=2.5
　　解得：x=0.5y=1.5
　　答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元?
　　（2）设需购进电脑m台，则购进电子白板（30-m）台，根据题意，得
　　0.5m+1.5（30-m）≥280.5m+1.5（30-m）≤30
　　解得： 15 ≤ m ≤ 17
　　∵ m为正整数，
　　∴ m=15或16或17.
　　故共有三种方案：
　　方案一：购进电脑15台，电子白板15台?总费用为0.5×15+1.5×15=30万元；
　　方案二：购进电脑16台，电子白板14台?总费用为0.5×16+1.5×14=29万元；方案三：购进电脑17台，电子白板13台?总费用为0.5×17+1.5×13=28万元?
　　所以，方案三的费用最低?
　　【方法点拨】（1）列不等式（组）解应用题的关键是找出题目中存在的不等关系?（2）设计方案题一般是根据题意列出不等式组，求不等式组的整数解?在能构建不等式（组）的题目中往往有表示不等关系的词语，如"大于（>）?小于（）?不超过（≤）?至少（≥）?至多（≤）"等?利用好这些信息，是列出不等式（组）的关键?有些题目中无明显表示不等关系的关键词，而是深藏于题意中，这就要根据问题的实际意义，深入挖掘隐含其中的不等关系?
　　3. 构建函数模型
　　初中阶段学习的函数有一次函数?二次函数?反比例函数，掌握各种函数的解析式?图象?性质是关键?函数的一个特点是：一个变量随着另一个变量的变化而变化，这就要求学生能根据应用题的变化规律，构建函数模型，求出函数的解析式，从而把方程的思想与函数的思想结合起来解决实际问题?
　　例5.（2013年湖北孝感）在"母亲节"前夕，我市某校学生积极参与"关爱贫困母亲"的活动，他们购进一批单价为20元的"孝文化衫"在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲?经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件?假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数?
　　（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
　　（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？
　　分析：（1）题中给出了"销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数"，因此可以构建一次函数模型?设y与x满足的函数关系式为：y=kx+b，利用待定系数法求出k和b的值即可?
　　根据"每天的利润P=每天销售量×每件的利润"构建以x为自变量的二次函数，通过求二次函数的最大值解决实际问题?
　　解：（1）设y与x满足的函数关系式为：y=kx+b.根据题意，得
　　24k+b=3629k+b=21
　　解得：K=-3b=108
　　故y与x的函数关系式为：y=﹣3x+108.
　　每天获得的利润为：P=（﹣3x+108）（x﹣20）
　　即 P =﹣3x2+168x﹣2160
　　配方，得 P =﹣3（x﹣28）2+192.
　　∵ a=-3