数学建模中学生解决实际问题能力的现状分析（转载）

血染干戈马

数学建模中学生解决实际问题能力的现状分析（转载）

　　摘要:数学建模中,学生存在解决实际问题的信心不足,对实际问题中的名词术语或背景不熟悉,对实际问题中各种数据之间的数量关系分析不透彻,对实际问题转化为数学模型缺乏经验等问题。

　　关键词:数学模型 数学建模 问题解决

　　数学建模教学活动能否顺利地开展,一个重要的环节就是:教师应该对学生的能力有一个全面认识,正确评价和对待每一个学生。学生对于实际问题的解决中主要存在着一些问题,使得数学建模过程中学生很难将实际问题转化为数学模型。这里我们将学生解决实际问题的困难进行一下分析。

　　一、 学生解决实际问题的信心不足

　　同纯数学问题相比,数学实际问题的文字叙述更加语言化,更贴近生活实际,有时题目可能比较长,数量也比较多,数量关系显得分散隐蔽。因此,面对这样非形式化的材料,许多学生常感到茫然,不知从何下手,于是开始惧怕数学实际应用问题。具体表现在:

　　1、在信息的吸收过程中,受题中提供信息的次序、过多的干扰语句的影响,很多学生读不懂题目。

　　2、在信息的处理加工过程中,受学生自身阅读分析能力或者数学基础知识的影响,很多学生缺乏把握题目的整体数学结构的能力,无法理清各个数学对象间的复杂关系。

　　3、在信息的提炼过程中,受学生语言转换能力的影响,许多学生无法把实际问题与对应的数学模型联系起来,缺乏把实际问题转换为数学问题的翻译能力。

　　数学建模问题是用数学知识和数学方法解决实际生活中的各种各样的问题,对师生来说都是一种创造性的活动,涉及到各种心理活动。心理学研究表明良好的心理素质是创造性劳动的动力因素和基本条件,它主要包括以下几个要素:自觉的创新精神;强烈的好奇心和求知欲;积极、稳定的情感;顽强的毅力;独立的个性;强烈而明确的价值观;有效的组织知识。而我们很多学生由于不具备以上良好的心理品质,表现出解决实际问题的信心不足。

　　二、学生对实际问题中的名词术语或背景不熟悉

　　在实际问题中,常常用到其他领域内的名词术语,我们现在的学生,从小到大一直生活在学校,很少与外界联系,对这些名词术语不敏感或很陌生,从而不能读懂题意。比如:实际生活中的复利率、所得税、保险金额、折扣率、零存整取等,类似这样的概念必须弄清楚,才能用数学解决问题。

　　例如关于“艾滋病”的检验:关于艾滋病的检验是当今世界讨论的热点话题。分析艾滋病呈阳性者真正被感染的概率是多少 ?

　　本题涉及到学生不太熟悉的词语有:艾滋病检验阴性,检验阳性;艾滋病感染等。学生需咨询有关医护人员,查医学资料等熟悉有关词语。

　　建模简介:设A(受艾滋病感染)T(检验呈阳性)A(没有受艾滋病感染)T(检验呈阴性)。

　　模型假设:两个检验相互独立,没有技术错误。

　　收集资料:在真正受艾滋病感染者中检验呈阳性的概率为(T|A)=99.8%在确实不受艾滋病感染者中检验呈阴性的概率为(A|T)=99%

　　以德国为例,目前真正受感染的P(A)=0.1%

　　建模目的:在检验结果几乎100%正确判断艾滋病的感染前提下论证呈阳性者真正受感染的概率有多大?

　　利用Bayes定理建立数学概率模型:

　　

　　≈9%

　　模型结果令人惊讶,也就是说11000阳性中只有1000(9%)人真正感染。这个例子反映出只有在实际问题涉及到的名词术语和背景材料分析透彻后,在教师帮助分析理解的基础上,学生建模活动才好开展。同时近几年高考出现的应用性问题,除了经济、环保等敏感话题外,也涉及到工业、医学等冷门问题。

　　例如:高考数学“冷压机”一题,已知一台冷压机共有4对减薄率为20%的轧辊,所有压辊的周长为1600mm,若第k对压辊有缺陷,每滚动一周在带钢压出一个疵点,在冷压机输出的带钢上,疵点的带钢上,疵点的间距为Lk,为了便于检修,计算L1,L2,L3。

　　建立模型:假设轧钢过程中,带钢宽度不变,且不考虑损耗,且在操作过程中,两疵点间的钢板体积始终相等,故可以建立一个等体积的几何模型问题。

　　模型分析:我们假设第3对压辊有缺陷,求L3,因此,我们将第3对压辊剪薄后的带钢上相邻两疵点为端点的一段“截割”下来,弄清该段带钢经过第4对压辊后有何变化,这也是突破该题目的关键。

　　模型求解:根据等体积几何模型有:1600宽厚度=L3宽厚度(1-20%),

　　解得L3=2000

　　据统计本题得分率不高,我分析学生可能没见过冷压机,对冷压机的性能和作用也不了解,对于“轧辊”、“减薄率”、“疵点”这样的名词不熟悉,所以题目也难以下手。因此数学建模教学要求学生要不断学习各方面的知识,不断丰富自己的思维,以便于学科之交流,学科之综合。

　　三、 对实际问题中各种数据之间的数量关系分析不透彻

　　实际问题中有些数量关系不明确或比较复杂的问题,学生不知该把哪个数据作为思维的起点,感到无从下手,找不到解决问题的突破口。

　　例 某公司拟为一企业承包新产品研制与开发任务,但为得到合同必须参加投标。已知投标的准备费用为4万元,中标的可能性是40%,如果不中标,准备费用得不到补偿。如果中标,可采用两种方法进行研制开发:方法1成功的可能性为80%,费用为26万元;方法2成功的可能性为50%,费用为60万元,如果合同中标,但未研制开发成功,这开发公司需赔偿10万元。请你决策1)是否参加投标;(2)若中标了,采用哪种方法研制开发?

　　在此问题中,涉及到的量有:投标准备费用,中标可能性,开发成功可能性,未研制成功的赔偿等各种方案的益损值。如何正确用这些已知量去决策方案许多学生一片茫然。

　　四、对实际问题转化为数学模型缺乏经验

　　可以用作解决实际问题的数学模型的形式很多,有函数模型,数列模型,不等式模型、概率模型、简单微积分模型等。但是,当遇到一个具体问题,选择什么样的数学模型,怎样分析解决问题,是学生感到很困难的一个环节。存在这种情况的主要原因是学生存在把普通语言转化为数学语言的障碍。数学语言主要是指数学文字语言、图形语言和符号语言,这也是数学区别于其他学科的一个显著特征。数学语言简练、抽象、严谨,甚至有些晦涩,如“函数y=f(x)”,形式简单,但很抽象。而实际应用问题明显特征就是文字叙述多,生活常识多,字母符号变量多,相关制约因素多,怎样将这种普通语言转化为数学语言对于数学模型能否顺利建成非常关键。

　　在排列组合中就有一类分装组合问题,经常以各种形式出现在各类考试中,而这些问题往往都可以通过构造一个模型来加以解决,我们举例说明。

　　问题的提出:将n个相同元素分装到m个不同盒中,有多少种装法。

　　模型的构建:将10个球分别装入3个不同的盒中,且每盒非空(或每盒至少一个),有多少种不同装法?

　　模型分析:将10个小球排成一排,在其两两之间的9个空档中任取2个空档华上竖线,这样就将10个小球分成3组。如图:

　　○○―○○○○―○○○○

　　模型求解:将每个小球顺序装入三个盒子中,这画竖线的方法就等于题中所求的装法数,共有C29=36种装法。

　　问题的推广:借助此模型我们可以研究更多的相关问题。例如:

　　1、(要求至少有n个的问题)将20本书分给4个学生,要求每个学生至少得3本,有多少种不同分发。利用模型分析得:首先每人2本,然后把剩下的12本按上述画竖线的方法分给4个学生,共有C311=45种方法。

　　2、集合从A到B的映射f中,求满

　　的映射个数。利用模型分析有:本题等价于将5个相同的小球放在3个不同的盒子中,每盒可空的方法总数 ,故有C27=21个映射。

　　以上几个问题在形式有很大不同,但只要学生抓住问题的主干,成功的将普通语言转化为数学语言,设计好数学模型,题目的求解就会有更新,更清晰的思路。

　　参考文献:

　　1、郑毓信。简论数学课程改革的活动化、生活化与个性化取向.数学教学,2003(7)

　　2、徐利治.徐利治论数学方法学.山东:山东教育出版社,2001

　　3、张桂钦.研究性学习课中教师所担当的角色.中学数学教学参考,2002(8)