关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖

qianzc2015

神奇数字“142857”新的发现与解读
' ]% b$ G  e" o钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）


内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
关键词：神奇数字142857  142857的乘方 众数和
+ n0 [; g, h' c
一、“142857”的神奇性质
5 Y3 P/ I4 W$ T现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
- a- o) U5 a1 x表1. 神奇数字142857的性质列表
) K7 B) n8 `; L+ H" L+ m7 L& N1 C- A" u142857×1=142857        142857×15=2142855        1+4+2+8+5+7=27
; i1 D2 [$ `: l2+7=9
14+28+57=99
9 m, R$ ~) e$ E# \142+857=999
( y4 O1 f# E2 h6 j* y142857×2=285714        142857×23=3285711       
142857×3=428571        142857×31=4428567       
142857×4=571428        142857×39=5571423       
142857×5=714285        142857×47=6714279        1428572=20408122449
! [) e& N9 _1 E) w7 q6 W142857×6=857142        142857×55=7857135        20408+122449
=142857
142857×7=999999        142857×63=8999991       
1428573=2915443148696793.
  ]7 j1 m, z- G' t7 s7 t: H        2915+443148+696793=1142856=8×142857
* E" J1 t% S$ a5 t3 `+ L% K  Z1428574=416401461893377757601
6 M# T8 k2 d2 Z4 i9 s# a        416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
1 ^2 L0 z# X4 Z$ e; x: p* y1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
=3142854=22×142857
142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857
, q, o+ Z: \+ G1 f- c8 Q
( t0 ?0 [- U, w/ c) S 这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
' V0 X- r0 x, n1 r$ X 1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
7 Q! A+ R, b- t* c1 H142857=15873×9，
$ H% W3 V9 t: M- q. |1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S.  2+7=9.  (R, S 皆为自然数)
. _. t1 j$ D. o: f2 W8 M这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
二、神奇数字142857的计算规律
, n2 t2 a' \! S: G! m* l' `以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
/ i; U8 D/ X" k' @1 L! Z4 m: v（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
n=(10b-7a)，
n=1, 2, 3, 4, 5, 6.    a,b  为待定系数
3 m! A+ d0 x9 B$ m解此不定方程，得到
                  表2 不定方程的解
; ~$ @* d4 V7 t: ]$ u/ Fn        1        2        3        4        5        6
a        142857        14        1        1428        14285        142
' M5 T5 @5 X+ H) jb        6        2        1        4        5        3
8 D# ^. }2 C% Z/ `由此得到142857的简单整数倍的计算式
nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7）    (1)
5 D4 f3 Q, o* {6 |# H0 \5 R式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
. M* s8 M' o/ x5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
+ L7 y. P/ b; N! C7 M在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
+ N7 ^+ J. b" _8 T  N由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
! e5 G; v& F: q4 j其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
6 V  w4 _1 w& k* ]101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
; S$ S7 W7 x3 n  O4 N3 Gn=(10b-7a)，
待定系数也一目了然了。
当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
A=m×106+nA-m                          ( 2 )
* j1 ^" Q1 R# X% R# y% x! Y因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
比如,求 13 A =？
! r$ f$ O9 J. T) X6 W   m=1，n=6，
13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141.  (6 A=857142).
（二）142857的n次幂的计算
结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
& a0 H( v( y* U1 b3 i9 A由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
! A. P4 h& a& Y1 K2 j7 X5 O由此
(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1，    An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
最终得到
An+1=（An-1）/7(106-1)+A                    （3）
现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
; Q) C" N3 R7 N8 A5 J% w5 p1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
142857=20408+122449.
& J# s0 |; z0 m6 n# ~1 L这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
A3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
- \6 E& {, A6 g+ S6 N' I0 xA4=（A3-1）/7 (106-1) +A  =416491461893377757601.
试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
2915443148696793×142857=？
被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
（三）142857的n次幂An的“众数和”
在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
+ O: R5 I+ K2 iA3=2915443148696793，                           
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
A1 =142857，                   A1 =142857= A
A2 =20408122449，                               A2=142857= A
+ H2 ]" m6 o5 w/ D4 EA3=2915443148696793，                           A3=1142856=8 A
4 ~: z# y# q4 F; m# FA4=416491461893377757601.                        A4=2142855=15 A
A5=59498720771702266317606057，                  A5=2142855=15 A
A6=8499808753283070659334248484849，             A6=2142855=15 A
A7=1214257179067759625180512735810073583，            A7=2142855=15 A
A8=173465137830082936774412507899619681846631，      A8=3142854=22A
A9=24780709194992158098782247641015968889564164767，    A9=3142854=22 A
! ~6 `$ z$ m8 k2 T5 S显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A.                  （4）
& T! t8 L1 h* d* w9 ~& G% B$ d而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
- v: x2 y/ B! r/ G, y现以A3为例，验证如下：
( m% K  h, L1 L/ j- I; @' H$ A已知：
A3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
- L5 _, g- Q+ O& B  p. MA3=2915+443148+696793=1142856=8 A
3 M/ u$ i6 R2 N; {5 b: \证明：
A3= a×1012 +b×106+c
  = a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
  = a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
  = a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
& t2 b% d' G! Y, G# @! h9 B' A' i: I又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
" F) Y, l$ A6 S  j. q( ?a+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
       =7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
=7A(P-Q)+A
= (7R+1)A.                                                
7 \3 |8 U& h0 u7 [5 r5 l: I& r' v# E以上P,Q,R 均为自然数。
对A3
a+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
  Y! ]5 [3 A8 V2 v7 r  b三 、总结
& D# a9 J* C9 e' y* ~- D) u& m以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。
$ m; R$ H( n" E+ P) {* G# }
参考文献：
4 ]# t& J  Z% p2 k7 c[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.