助力国赛 | 第3弹 规划问题（Lingo版）

杨利霞

助力国赛 | 第3弹 规划问题（Lingo版）
( x( Q: b6 {$ W( m' A# B" B

8 v/ E5 ^( j8 t( n( @: C5 `
6 Z4 W8 Z! |4 C8 A' H# U% I, ]前言

上次介绍了用MATLAB来求解规划问题，功能强大是强大，但总觉得有点不爽，函数里面的参数有点难记，万一输错了岂不玩完了。的确在可读性这方面，MATLAB做的差一点。正是基于此在此向各位推荐另一款软件——Lingo。Lingo在数学规划上也是大名鼎鼎的。本次首先会简单介绍下Lingo和其基本操作，齐次介绍些高级操作，最后还是回到实际问题中，在具体问题中一睹Lingo的强大。

• 基本操作
• 高级操作
• 实际应用
  

) B9 z! Q6 K) Y9 V2 v基本操作简介

Lingo是美国Lindo系统公司开发的一套专业的求解最优化问题的软件包，可以求解线性规划、二次规划、非线性规划、线性方程组、非线性方程组和整数规划等。LINGO软件有多种版本，如LINDO，GINO 和LINGO(包括LINGO NL)软件。在这些软件中关系最让人“头痛”的恐怕就时Lingo与Lindo的关系，其实可以这样简单的理解：Lindo是可以是这些软件集合的代名词，Lingo只是其中一种具体的软件而已。管他们什么关系，知道现在被广泛使用的是Lingo就行了。
. i: L% `  q1 |# Z: E; MLingo是一款商业软件，使用是需要付费的，可以登录他们的官网：http://www.lindo.com 进行查看，但在天国获取的方法就不仅限于此了，具体可以访问某度，在此就不细说了。
( J) x1 f4 \( x6 s$ n" ?

  T0 b: B/ ~- I3 _8 D3 h% F: J: {

下面“吹一吹”Lingo。

强大的求解整数规划功能是Lingo软件的最大特色，且求解速度非常快。Lingo还是最优化问题的一种数学建模语言，它包括许多常用的数学函数，这些函数可供使用者在建立最优化模型时调用。此外，Lingo提供与文本文件、Excel文件和数据库文件的接口，便于输入、求解和分析大规模最优化问题。

初印象

第一眼还是很重要的，下面就看一看Lingo。
建面如下：

常用工具栏：

" I/ r- J+ i# P' C# S

Lingo文件类型：

文件后缀名为“.lg4”保存了模型窗口中所能够看到的所有文本和其他对象及其格式信息。

运算符

算数运算符: 用于数与数之间的数学运算。
" K8 J5 C0 f* E* n& Y- W" C7 Q5 L  oLINGO中的算术运算符有以下5种：
+（加法）
3 i0 m/ e/ q* i" {8 Q2 o4 |* J-（减法或负号）
*（乘法）
; l. X4 b+ [3 o# ]/（除法）
$ P0 |  W& F, ~+ r/ ~+ h8 Y0 T^ (求幂)

关系运算符：表示“数与数之间”的大小关系。
LINGO中关系运算符有3种：
< (即<=，小于等于)
# K8 q6 u1 N/ N: ]& g= (等于)
> (即>=，大于等于)

简单程序编写

求解如下问题：

+ `/ a/ s. ~* c. h1 g2 C

编写程序：

点击求解按钮：

分析结果：

所以当x1 = 0，x2 = 5时，取得目标函数的最优值15。

高级操作

下面详细介绍Lingo的用法。

基本语法

在LINGO语句中通常以MODEL开始，END结束(MODEL和END行也可以删除)，目标函数表达式前需要加“MAX=”或“MIN=”. 在写LINGO模型中，注意：

• LINGO模型已假设各个决策变量非负. 若变量无非负约束或有上下界，则可以考虑用@free、@sub、@slb或@bnd来定义.
• 变量名不能超过32个字符，且必须以字母（A-Z）开头，其后可以是字母、数字（0-9）和下划线（_）的任意组合.
• 变量名不区分大小写.
• 在约束中“&gt;=”与“&gt;”等同，“&lt;=”与“&lt;”等同.
• 在目标函数或约束条件中需要以“；”结束.
• 标点符号等要在英文状态下输入.
• “！”为注释符号，其后为注释内容，注释以“；”结束.
• 逻辑运算主要包括：#EQ#(等于)，#NE#（不等于），#GE#（大于等于），#LT#（小于），#LE#（小于等于）.
  / ^4 _1 a- o. W$ O* m3 e3 n

段

LINGO中建立的优化模型可以由六个部分组成，或称为六“段”。

• 集合段：用于定义数组型性变量SETS: ……ENDSETS
• 数据段：用于变量赋值与数据传递DATA: ……ENDDATA
• 目标与约束段：用于列出目标与约束唯一一个没有段的开始和结束标记
• 计算段：用于数据初始整理计算CALC: ……ENDCALC
• 初始段：用于变量赋初值迭代寻优INIT: ……ENDINIT
• 子模型段：用于表达子模型进行调用@SUBMODEL mymodel:可执行语句（约束+目标）ENDSUBMODEL
  * h& C* ^" T; ?

有了这些我们就可以，不必把表达式全都列举出来了，下面这个表达方式：
: [( {' ~$ x9 W: F* q+ P6 L( [

. i5 z, a- Q6 `; {; n6 o

code：

sets:！集合段;s/1..100/:x;!基本集合, 集合名与属性变量;endsets!目标与约束段;@sum(s(i):x(i))<90;！循环求和函数;
. d& d! V: P5 \7 l+ Z* }! \

code：

sets:！集合段;ss/1..10/:b;endsetsdata:! 数据段;b=1 0 1 2 3 5 2 6 1 2;enddata

code：

sets:！集合段;a/1..100/:x;b/1..200/:y;Endsets！目标与约束段;@for(b(j):@gin(y(j)));@for(a(i):@bin(x(i));
1 s9 s# r4 b" Z派生集合

派生集合就是派生出来的集合，看几个例子就懂了。

- _/ U3 g1 R# L) R) }0 X

code：

sets:a/1..100/:;b/1..200/:;C(a,b):x;！派生集合;Endsets！目标与约束段;@sum(c(i,j):x(i,j))=280;
2 R0 B( M5 I+ e/ N. i$ w' F
( V, h- h8 A% R+ `

code：

sets:a/1..100/:;b/1..200/:;C(a,b):x;Endsets！目标与约束段;@for(b(j):@sum(a(i):x(i,j))>150.001);!集合元素的循环函数;
7 b5 O. a) w1 p; p" o

code：

sets:a/1..100/:;b/1..200/:y;C(a,b):x;Endsets！目标与约束段;@for(b(j):@gin(y(j)));@for(c(i,j):@bin(x(i,j));
逻辑运算符与过滤条件

这个前面提到过，再罗列一次：
LINGO逻辑运算符有9种：
) d  l* j1 M: r, e#AND#(与),#OR#(或),#NOT#(非)：
; R. j; U2 c, P. Q2 w#EQ#(等于),#NE#(不等于),
. ?( i+ i8 m2 B#GT#(大于),#GE#(大于等于),
3 M& k2 A; R: u: t& S#LT#(小于),#LE#(小于等于)
* T6 @  p% u1 X/ _' S, H看下面一个例子：
9 F/ w1 O. s( [: u* c* j9 Z8 o$ ^

4 ~* W, }& g9 h. @5 u, N, o

code：

sets:a/1..20/:;b/1..30/:;C/1..40/:;d(a,b,c):x;Endsets！目标与约束段;@for(a(i):@for(b(j):@sum(c(i,j,k)|k#gt#1#and#k#ne#10:x(i,j,k))=100));!过滤条件;

如果我们表示一个分段函数时，就可以是if函数

@IF(logical_condition, true_result, false_result)

当逻辑表达式logical_condition的结果为真时，返回true_result，否则返回false_result。

code：

f=@IF(X#LE#500,4*X,@IF(X#LE#1000,500+3*X,1500+2*X));
6 K( V* [+ x; k. _9 X5 x! M

掌握上述方法，可以解决掉大部分规划问题，如果还想进一步了解，可以去查阅相关书籍。

实际应用线性规划
. E" i) M# o' h1 o$ w5 |

原运输问题变量更换为：

* D3 Z. j* O) D8 _

建立模型为：

. i' |9 a/ |. B: b

模型进一步转化为：

. I. f, l3 }8 _" E" h7 j' ]

程序编写：

MODEL:TITLE 调运大米的运输问题程序3;!定义集合段;SETSIANGKU/1..2/:A;!定义粮库的集合;LIANGZHAN/1..3/:B;!定义粮站的集合;YULIANG(LIANGKU,LIANGZHAN):X,C;!定义运量和距离;ENDSETSDATA:!粮库到粮站的距离;C=12 24 830 12 24;!粮库的限量;A=4 8 ;!粮站的限量;B=2 4 5;ENDDATAMIN=@SUM(YULIANG:C*X);!粮库上限的约束;@FOR(LIANGKU(I):@SUM(LIANGZHAN(J):X(I,J))<A(I));!粮站下限的约束;@FOR(LIANGZHAN(J):@SUM(LIANGKU(I):X(I,J))>B(J));END

运行程序即可得到结果。

非线性规划

CUMCM2004C请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：

• 对大李碰到的情况做出解释；
• 。。。
  

参考数据

• 。。。
• 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：
  , D% ]/ F, G9 U

分析：把人体内酒精的吸收，代谢，排除过程分成两个“室”，胃是第一个室，血液为第二室，酒精先进入胃，然后被吸收进入血液，由循环到达体液内，再通过代谢，分解及排泄，出汗，呼气等方式排除。
假设胃里的酒精被吸收进入血液的速度与胃中的酒量x(t)成正比，比例常数为k1，血液中的酒被排除的速度与血液的酒量y(t)成正比，比例系数为k2，G0为短时间内喝入胃的酒精总量，则可以建立微分方程：

求解得：
  s. W" N; ^0 u& E! Q1 W

变换为:
9 ^3 r9 r# p' \' G4 S

因而问题就可以转化为：

# w! k1 z* t6 F6 Q

编写程序：

MODEL:SETS:BAC/R1..R23/:T,Y;ENDSETSDATA:T=0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 16;Y=30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 77 4;ENDDATAMIN=@SUM(BACA1*(@EXP(-A2*T)-@EXP(-A3*T))-Y)^2);END
! \$ u: y- p/ i

运行程序，即可获得结果。

整数规划：

对上次最后一个题目，用Lingo进行求解。

编写程序：

model:sets:row/1..4/:b;col/1..5/:c1,c2,x;link(row,col):a;endsetsdata:c1=1,1,3,4,2;c2=-8,-2,-3,-1,-2;a=1 1 1 1 11 2 2 1 62 1 6 0 00 0 1 1 5;b=400,800,200,200;enddatamax=@sum(col:c1*x^2+c2*x);@for(row(i):@sum(col(j):a(i,j)*x(j))<b(i));@for(col:@gin(x));@for(col:@bnd(0,x,99));end
; z, g' y1 I5 b  U( z, K

运行即可求出结果，还是满精确的。

; k( d1 B) \. S8 \( r$ ?% y& c
0 n6 @* w3 w  v+ e$ D2 s+ G. w