第09章 插值与拟合

杨利霞

第09章 插值与拟合

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第九章 插值与拟合
插值：求过已知有限个数据点的近似函数。
拟合：已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义
下它在这些点上的总偏差最小。
插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二
者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时
容易确定，有时则并不明显。
§1 插值方法
下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性
值、Hermite 插值和三次样条插值。
1.1 拉格朗日多项式插值
  1.1.1 插值多项式
用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值。其基本问题是：已知函数 f (x)在
区间[a,b]上n +1个不同点 n x , x , , x 0 1 L 处的函数值 ( ) x i i ( ) y = f x (i = 0,1,L,n) ，求一个
至多n 次多项式
n
n n x = a + a x +L+ a x 0 1 x ϕ ( )  （1使其在给定点处与 f (x)同值，即满足插值条件
(x ) f (x ) y (i 0,1, ,n) ϕ n i = i = i = L （2(x) ϕ n 称为插值多项式，x (i 0,1, ,n) i = L 称为插值节点，简称节点，[a,b]称为插值区
间。从几何上看，n 次多项式插值就是过n +1个点( , ( )) i i x f x (i = 0,1,L,n) ，作一条
多项式曲线 y (x) = ϕ n 近似曲线 y = f (x) 。
n 次多项式（1）有n +1个待定系数，由插值条件（2）恰好给出n +1个方
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧+ + + + =+ + + + =+ + + + =n
n
n n n n
n
n
n
n
a a x a x a x y
a a x a x a x y
a a x a x a x y
LLLLLLLLLLLLLLL2
0 1 2
1 12
0  1 1  2 1
0 0
2
0  1 0  2 0
  （3）
记此方程组的系数矩阵为 A ，则

n
n n n
n
n
x x x
x x x
x x x
A
LLLLLLLLLL2
12
1 10
2
0 0
111A
det( ) =
是范德蒙特(Vandermonde)行列式。当 n x , x , , x 0 1 L 互不相同时，此行列式值不为零。因
此方程组（3）有唯一解。这表明，只要n +1个节点互不相同，满足插值要求（2）的
插值多项式（1）是唯一的。
插值多项式与被插函数之间的差
R (x) f (x) = (x) n = −ϕ n