Kruskal算法生成最小生成树 实例

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Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
以下是Kruskal算法的简要概述：

' |5 R+ e0 ?$ J1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。
2 e% H8 E( _" \1 P) \1 A2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
3 ~# C1 u$ o- o8 _6 X- K+ p2 {: [3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。
8 f$ S0 l, J' M) U5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。
" O5 p# ]4 ]( W7 B/ A
, V7 Q: y! L; Y, ]以下是Kruskal算法的Python实现：

1. class Graph:5 m: J. {& S; X' T4 F\" _
   
2. : K8 f\" @+ k5 E1 q! I
   
3.     def __init__(self, vertices):
   ' i. [\" n7 ^% D
4. 4 Y' I4 L* T5 y% s
   
5.         self.V = vertices
   1 h& ?5 d) L7 }+ o& Z; u1 A# s( n
6. . a) L4 P4 F9 A
   
7.         self.graph = []
   4 \$ u6 }  ^* B
8. 9 h9 r4 s% ^; I
   
9. - F/ L; l+ d9 C$ b! c
   
10. 
    : x7 l\" ]+ b9 M& H
11.     def add_edge(self, u, v, w):7 P& ]+ e8 K+ O
    
12. 
    % |1 W9 H( N  o& y
13.         self.graph.append([u, v, w])
    $ x/ ^7 s! B5 H$ @$ e) k
14. / D) m# i' i) {& A3 v
    
15. 
    ; B. c& O! J' c; S, r) t
16. 1 Y) c' v& Z; R\" u8 J
    
17.     def find(self, parent, i):
    & Q\" G1 D* \' d+ |% q
18. 
    * p; ]' F, y1 r: _0 a$ D# y
19.         if parent[i] == i:\" Q# y+ W, C; @7 b9 f\" B) q
    
20. 
    7 e) l. r  ]# \, J
21.             return i
    & k2 e. x* J2 R
22. 
    7 c/ K/ `2 f% D5 Z( D/ ?6 {
23.         return self.find(parent, parent[i])
    : [) O; P7 X: q' j) K* ~0 G
24. ! R4 h* q8 W! U: K$ s
    
25. & K- ^0 y8 b* h\" w5 X. X
    
26. 
    \" \+ v7 v  k; F# _% @5 m
27.     def union(self, parent, rank, x, y):7 Z5 `+ Y( N: F/ I, Q4 n, B2 J4 W! ~
    
28. 
    7 f- I% \, Q% X# ~
29.         x_root = self.find(parent, x)\" @$ W' s% z  j; \( k
    
30. 3 ]' ?* |1 u9 q
    
31.         y_root = self.find(parent, y)
    : m$ ^; R$ ?# G, J4 J
32. ' [% Z9 W* |7 E* f; [6 M
    
33. ) N+ `) t6 D8 i1 M0 n* L
    
34. 
    ; p2 F8 {* I1 `# Q  G; l! @  ]0 y
35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:  J% b2 @8 j( Z: t+ x' l% J) e
    
36. 
    2 I7 N9 g- l  g8 Y) O
37.             parent[x_root] = y_root# n  {' R1 M7 Z, D% v
    
38. 
    0 v5 R8 r. v' a8 S
39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:+ H& @3 }% x- D' a# a6 w4 U, i* q4 P
    
40. - b$ [( U* |: N' G/ B1 N
    
41.             parent[y_root] = x_root
    , E# N+ B% W2 Z* x1 Z; Z
42. 
    6 X5 [3 D& d3 X; ]% C! Y
43.         else:8 F/ p9 |( b9 p4 x2 m
    
44. 1 \! i4 m6 X  b' W5 i% E$ d
    
45.             parent[y_root] = x_root
    % x+ }/ H; j7 ^$ f
46. $ Y- d* ~) j7 e( H  l8 j
    
47.             rank[x_root] += 1
    * D- B7 |, Y; l! j
48. 
    , {( X9 a3 l* ^+ P0 f, x, g2 ]
49. ' _7 T, M$ v) s
    
50. 
    & Y% x2 }, z# l6 t5 j' u
51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):0 ]) W! A( p) d: E
    
52. 
      w) n+ f. ?; V2 T
53.         result = []4 y6 ^9 `7 n) s2 k# \
    
54. 
    \" r- o, ?: }2 i# U+ u
55.         i, e = 0, 0
    ; t& x, x. ^- C
56. 
    / m! b. \- g1 P* r4 ?) K
57. + G  F& d: N1 l. y# O# ]
    
58. 
    : l* E, [\" }4 a
59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2])$ p1 s& e$ q, a' w1 f( B
    
60. - Z\" ~\" d$ {+ U! H/ W. `) x5 B* ~; k) e
    
61.         parent = []
    7 C* Q; r' _1 N. y6 r
62. : _2 w' j+ L1 v) N- g7 U
    
63.         rank = []
    9 m, O1 R) j5 f
64. \" O7 T9 m8 z6 q* Q
    
65. 
    ' Z; H. o% D( G$ Q/ V; {
66. 
    6 \8 U' J8 o- X% w5 u
67.         for node in range(self.V):; M( I# V& S1 w& i0 F/ O+ u. c
    
68. 4 c8 _- ?4 ~# C8 O7 {
    
69.             parent.append(node)3 h1 k6 n- n+ L5 v) k6 l3 {
    
70. 4 u8 E( A2 M$ S  C& s
    
71.             rank.append(0)
    9 h: l) W2 W\" u
72. 
    4 \! {/ f- J\" b( A- O  P# D: [3 e
73. 
    . l\" x: U$ A. y2 _, Z
74. 
      B+ Z7 ^! m/ b- y7 C5 y3 @
75.         while e < self.V - 1:* D6 V- u( Z# g  y  D\" ?
    
76. 8 [6 e\" ^1 Y- p; G' J$ D4 P
    
77.             u, v, w = self.graph[i]
    3 s0 Z# |+ \' f8 f; D
78. 
    ! z8 s  ]- r8 S1 L
79.             i += 1; o; g  D8 y: Q$ G
    
80. ' H' x! X2 e8 K2 u/ s6 u. \( s+ I
    
81.             x = self.find(parent, u)
    2 e* h8 J6 c2 F/ r7 I3 [- R
82. ; ]: X* k( w+ Z9 E
    
83.             y = self.find(parent, v)
    & ~) s% \5 Y' n! ?
84. # j2 T# A2 L1 n9 P3 @
    
85. / d0 \# f! E, p8 M( J# e2 M
    
86. 
    + E. S- W* i3 ]2 _
87.             if x != y:
    6 x+ F, {8 t3 b- E# `# x
88. 
    0 O7 `, a, }' ^1 N) k5 F
89.                 e += 1
    1 ?, V2 H+ ^. T' y
90. 
    ( H1 f9 J+ m  N$ J4 p; N. A9 F7 U5 l
91.                 result.append([u, v, w])3 p! f: I; a' Y
    
92. 
    ; c$ ~. T( @: V\" @# u
93.                 self.union(parent, rank, x, y)
    ; r\" H4 j8 D3 z9 |8 w
94. 
    ) X/ Q( e- A3 r/ a! F' O' G
95. 
    % s' w/ }/ H5 u2 ?, j
96. 
    \" l2 W& v2 _* J# o
97.         return result
    2 w/ Y/ n- G+ N
98. 
    1 K, \0 r0 Y5 r3 L+ T
99. ; R2 s  r' [& L/ J$ q% H- F+ c
    
100. 7 R$ s( t8 D8 V& W
     
101. g = Graph(4). ~9 K- ]- _) b1 ]* i/ C
     
102. 
       f2 h) I+ K( ?4 E& c+ t
103. g.add_edge(0, 1, 10)# ]. g; K) C+ J$ g
     
104.   q# ?6 l, `2 A9 _6 l
     
105. g.add_edge(0, 2, 6)
     * T/ |: f6 n  e+ r7 S5 B
106. + P& b* S! Z5 a9 y4 X
     
107. g.add_edge(0, 3, 5)
     / V3 S! y/ b' P) o# Q0 y
108. 
     / O! E( U\" w0 l9 i\" s2 C
109. g.add_edge(1, 3, 15)
     $ a! y) ~/ K2 h1 |/ f: u
110. 5 k. Y( {4 W+ z9 n3 h8 g% D, F
     
111. g.add_edge(2, 3, 4)2 U( j- N7 l9 N2 T) l
     
112. % b( S9 p7 C. G+ Z; A6 j: ~5 {& W3 F
     
113. 2 C; t0 i8 }  K* t/ _: J
     
114. 
     : v7 \7 q' p1 e( Z- m
115. print("最小生成树的边:")! @( I% F( _- i9 [0 G
     
116. 
     ; M/ J2 {( x& E% ]  K( D) K
117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())

复制代码

这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。

4 `9 V5 {4 J; Q# u