* h( Z# Z/ r" h/ m- s0 `: D( ^& {助力国赛 | 第3弹 规划问题(Lingo版)
! b* \- R- n' o; }& { x) h- X2 L. e( Z0 u ?! u; W
. H, f0 w+ l1 M3 f$ Q* @3 z
前言上次介绍了用MATLAB来求解规划问题,功能强大是强大,但总觉得有点不爽,函数里面的参数有点难记,万一输错了岂不玩完了。的确在可读性这方面,MATLAB做的差一点。正是基于此在此向各位推荐另一款软件——Lingo。Lingo在数学规划上也是大名鼎鼎的。本次首先会简单介绍下Lingo和其基本操作,齐次介绍些高级操作,最后还是回到实际问题中,在具体问题中一睹Lingo的强大。 - 基本操作
- 高级操作
- 实际应用4 m g) M7 E5 ^* B h
' j- G) @! f# M) b基本操作简介Lingo是美国Lindo系统公司开发的一套专业的求解最优化问题的软件包,可以求解线性规划、二次规划、非线性规划、线性方程组、非线性方程组和整数规划等。LINGO软件有多种版本,如LINDO,GINO 和LINGO(包括LINGO NL)软件。在这些软件中关系最让人“头痛”的恐怕就时Lingo与Lindo的关系,其实可以这样简单的理解:Lindo是可以是这些软件集合的代名词,Lingo只是其中一种具体的软件而已。管他们什么关系,知道现在被广泛使用的是Lingo就行了。
: D t; i5 b4 O8 K6 h8 h2 bLingo是一款商业软件,使用是需要付费的,可以登录他们的官网:http://www.lindo.com 进行查看,但在天国获取的方法就不仅限于此了,具体可以访问某度,在此就不细说了。
& K7 v! F) M# x . h2 S" I/ W# X: E7 Z1 B. E) P, E
下面“吹一吹”Lingo。 强大的求解整数规划功能是Lingo软件的最大特色,且求解速度非常快。Lingo还是最优化问题的一种数学建模语言,它包括许多常用的数学函数,这些函数可供使用者在建立最优化模型时调用。此外,Lingo提供与文本文件、Excel文件和数据库文件的接口,便于输入、求解和分析大规模最优化问题。
% P" l3 X$ Q) q- @) i初印象第一眼还是很重要的,下面就看一看Lingo。% s8 L9 N. Y5 p* c/ c! s
建面如下:1 h! \9 c. J: H( s; f# P P* j/ w7 D
4 o2 z8 g8 P! g# d V
常用工具栏:
* N5 L% K6 Q ^ vLingo文件类型: 文件后缀名为“.lg4”保存了模型窗口中所能够看到的所有文本和其他对象及其格式信息。 运算符算数运算符: 用于数与数之间的数学运算。* ^7 q; a9 F7 p" m9 t$ N
LINGO中的算术运算符有以下5种:" _+ }* p' n( Z- P7 K) _
+(加法); I" t$ s% m6 Y% o# Y1 m7 ~0 e
-(减法或负号)5 _1 X2 | D7 T6 o
*(乘法)
/ W2 D8 T( d1 e6 b$ o( L) U/(除法)& P5 T8 v; T- J
^ (求幂) 关系运算符:表示“数与数之间”的大小关系。
8 u5 n8 ]( Q! [4 R+ G/ ?LINGO中关系运算符有3种:* x) {) f* w _( s+ o4 J! R
< (即<=,小于等于)
. H/ U' o( ~/ |5 U4 i= (等于): k- g" { M6 Q( G/ Q% P9 e* U
> (即>=,大于等于) 简单程序编写求解如下问题:
) z& H) n6 f: a+ A. u, O' C : d( G. x3 m) K: K
编写程序:
6 c. b6 k) l9 {5 H9 E3 z# |, x点击求解按钮:
; D5 \/ K: _ ^! ?6 ?分析结果: $ H/ p" s" [: G( K
所以当x1 = 0,x2 = 5时,取得目标函数的最优值15。 高级操作下面详细介绍Lingo的用法。 基本语法在LINGO语句中通常以MODEL开始,END结束(MODEL和END行也可以删除),目标函数表达式前需要加“MAX=”或“MIN=”. 在写LINGO模型中,注意: - LINGO模型已假设各个决策变量非负. 若变量无非负约束或有上下界,则可以考虑用@free、@sub、@slb或@bnd来定义.
- 变量名不能超过32个字符,且必须以字母(A-Z)开头,其后可以是字母、数字(0-9)和下划线(_)的任意组合.
- 变量名不区分大小写.
- 在约束中“>=”与“>”等同,“<=”与“<”等同.
- 在目标函数或约束条件中需要以“;”结束.
- 标点符号等要在英文状态下输入.
- “!”为注释符号,其后为注释内容,注释以“;”结束.
- 逻辑运算主要包括:#EQ#(等于),#NE#(不等于),#GE#(大于等于),#LT#(小于),#LE#(小于等于).
$ [2 s T5 D+ w4 U$ j( n4 i 段LINGO中建立的优化模型可以由六个部分组成,或称为六“段”。 - 集合段:用于定义数组型性变量SETS: ……ENDSETS
- 数据段:用于变量赋值与数据传递DATA: ……ENDDATA
- 目标与约束段:用于列出目标与约束唯一一个没有段的开始和结束标记
- 计算段:用于数据初始整理计算CALC: ……ENDCALC
- 初始段:用于变量赋初值迭代寻优INIT: ……ENDINIT
- 子模型段:用于表达子模型进行调用@SUBMODEL mymodel:可执行语句(约束+目标)ENDSUBMODEL) K- K) t1 p4 g) \; e3 x
有了这些我们就可以,不必把表达式全都列举出来了,下面这个表达方式:+ |5 q* a# f7 J1 f' v8 C& L. f
3 s$ E# J) @4 Y0 P: ]
code: sets:!集合段;s/1..100/:x;!基本集合, 集合名与属性变量;endsets!目标与约束段;@sum(s(i):x(i))<90;!循环求和函数;
! S7 u3 e* l" l5 |! J+ }- C* }% N
; B) u( j) a* ]code: sets:!集合段;ss/1..10/:b;endsetsdata:! 数据段;b=1 0 1 2 3 5 2 6 1 2;enddata
; \. @& h* T4 D
2 d# W' S- D) U7 {code: sets:!集合段;a/1..100/:x;b/1..200/:y;Endsets!目标与约束段;@for(b(j):@gin(y(j)));@for(a(i):@bin(x(i));
/ W* ~( g' P; {' R派生集合派生集合就是派生出来的集合,看几个例子就懂了。6 j1 `7 b1 |% g3 L2 r& j
0 Z3 [$ B2 x- D* b- L- I
code: sets:a/1..100/:;b/1..200/:;C(a,b):x;!派生集合;Endsets!目标与约束段;@sum(c(i,j):x(i,j))=280;* z; A U& M0 [( n% ~* M# {
, w8 R2 y+ @2 [' M( ycode: sets:a/1..100/:;b/1..200/:;C(a,b):x;Endsets!目标与约束段;@for(b(j):@sum(a(i):x(i,j))>150.001);!集合元素的循环函数;8 T& H6 ^$ ]4 g# E
* {# S1 l+ U9 B9 i1 E9 k& [code: sets:a/1..100/:;b/1..200/:y;C(a,b):x;Endsets!目标与约束段;@for(b(j):@gin(y(j)));@for(c(i,j):@bin(x(i,j));
, D1 B% d& S2 u逻辑运算符与过滤条件这个前面提到过,再罗列一次:
3 ~4 U- [: e. O( cLINGO逻辑运算符有9种:& N* ]+ s0 n8 _1 t2 L( a5 |8 \
#AND#(与),#OR#(或),#NOT#(非):" W" L& I) G+ w- }
#EQ#(等于),#NE#(不等于),
, ~' U$ O; P! |6 x) z: |& Y2 e; s#GT#(大于),#GE#(大于等于),( B5 s H* J% q- A8 |) Y
#LT#(小于),#LE#(小于等于)( z0 {& u3 O- H
看下面一个例子:6 ~$ u7 p( L; Z$ ~ H# ?/ C
3 ?; R! K& [! C }: n$ U8 ]; Rcode: sets:a/1..20/:;b/1..30/:;C/1..40/:;d(a,b,c):x;Endsets!目标与约束段;@for(a(i):@for(b(j):@sum(c(i,j,k)|k#gt#1#and#k#ne#10:x(i,j,k))=100));!过滤条件;- `3 C7 F& V( o) ~9 k1 L2 @
如果我们表示一个分段函数时,就可以是if函数 @IF(logical_condition, true_result, false_result)
# T. E! x. i( {当逻辑表达式logical_condition的结果为真时,返回true_result,否则返回false_result。
- H# {8 Q7 S9 }% u/ ycode: f=@IF(X#LE#500,4*X,@IF(X#LE#1000,500+3*X,1500+2*X));9 O( Y. E- E7 @; j7 y6 ~4 D# {
掌握上述方法,可以解决掉大部分规划问题,如果还想进一步了解,可以去查阅相关书籍。 实际应用线性规划! f0 |; k2 {9 t
原运输问题变量更换为: $ a3 n W7 Y% G, g; h( L
建立模型为:
9 d! `4 B, D* D5 J' N/ N模型进一步转化为:
* t- A- \# n" L' ^% c; g程序编写: MODEL:TITLE 调运大米的运输问题程序3;!定义集合段;SETSIANGKU/1..2/:A;!定义粮库的集合;LIANGZHAN/1..3/:B;!定义粮站的集合;YULIANG(LIANGKU,LIANGZHAN):X,C;!定义运量和距离;ENDSETSDATA:!粮库到粮站的距离;C=12 24 830 12 24;!粮库的限量;A=4 8 ;!粮站的限量;B=2 4 5;ENDDATAMIN=@SUM(YULIANG:C*X);!粮库上限的约束;@FOR(LIANGKU(I):@SUM(LIANGZHAN(J):X(I,J))<A(I));!粮站下限的约束;@FOR(LIANGZHAN(J):@SUM(LIANGKU(I):X(I,J))>B(J));END9 ]3 p9 G" Z+ g) N
运行程序即可得到结果。 非线性规划CUMCM2004C请你参考下面给出的数据(或自己收集资料)建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型,并讨论以下问题: - 对大李碰到的情况做出解释;
- 。。。' p: H! j* p) z& |6 G" ]
参考数据 - 。。。
- 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后,隔一定时间测量他的血液中酒精含量(毫克/百毫升),得到数据如下:
1 y3 m: j9 V6 {; ]) h
) `9 b( Y1 M2 ]分析:把人体内酒精的吸收,代谢,排除过程分成两个“室”,胃是第一个室,血液为第二室,酒精先进入胃,然后被吸收进入血液,由循环到达体液内,再通过代谢,分解及排泄,出汗,呼气等方式排除。) z" @ x; d/ p
假设胃里的酒精被吸收进入血液的速度与胃中的酒量x(t)成正比,比例常数为k1,血液中的酒被排除的速度与血液的酒量y(t)成正比,比例系数为k2,G0为短时间内喝入胃的酒精总量,则可以建立微分方程:
+ G* y' @" y" |" w) ~ 求解得:
! w2 v' `) M; g( b 变换为:, \& A( @! N$ |0 u- c6 B1 B
4 r- p8 y/ v2 g* n! x0 E0 |+ G
因而问题就可以转化为:
( r0 e* ]; h3 v; F. u1 B9 X编写程序: MODEL:SETS:BAC/R1..R23/:T,Y;ENDSETSDATA:T=0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 16;Y=30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 77 4;ENDDATAMIN=@SUM(BACA1*(@EXP(-A2*T)-@EXP(-A3*T))-Y)^2);END
7 c* n( D/ {8 s6 _4 u/ [6 c# _0 g运行程序,即可获得结果。 整数规划:对上次最后一个题目,用Lingo进行求解。+ q: f. d. B% ]# [' d7 `
编写程序: model:sets:row/1..4/:b;col/1..5/:c1,c2,x;link(row,col):a;endsetsdata:c1=1,1,3,4,2;c2=-8,-2,-3,-1,-2;a=1 1 1 1 11 2 2 1 62 1 6 0 00 0 1 1 5;b=400,800,200,200;enddatamax=@sum(col:c1*x^2+c2*x);@for(row(i):@sum(col(j):a(i,j)*x(j))<b(i));@for(col:@gin(x));@for(col:@bnd(0,x,99));end
9 A' _. U. R0 ?, y, b# n% |运行即可求出结果,还是满精确的。 / D! r3 C1 K- B6 n& X2 H* u( H& N
% u c) \& k8 g3 f( c6 p8 P. u
|