任意角三等分

徐成龙

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任意角三等分法（1）

如果某一任意角是由原来的三个等角合成的，那么这一任意角便能分成原来的三个等角，即任一任意角客观上都必然存在着两条角三等分线。
! g1 b- p8 _9 m7 B

（一）三等分直角的启示

如图1所示：∠A=90°，以A点为圆心，任意长为半径画弧与角两边分别相交于B、C两点，连接BC；过A点作AP⊥BC，并与BC相交于G；过G点作GH//AB，并与弧BC相交于M。连接AM，并与弦BC相交于N，连接BM。
则∠BAM=∠MBN= ∠A。
# ?- h) Z( L9 y$ Z7 J

（图1）

证明：（1）延长MG与AC相交于K，则AK=KC= AC
- i; Z" H, i7 ~4 K) S∵AC=AM
! n/ L) b( H* E1 U∴AK= AM
∵∠AKM=90°
∴∠AMK=30°= ∠A
∵KM//AB
∴∠BAM=∠AMK=30°= ∠A
（2）在△BAM中
+ T+ L+ S7 X- d6 a$ U∠ABM=∠AMB= =75°
在△MBN中
$ {  C: H$ S& Y1 ]) t2 w∠NMB=∠AMB=75°
: T6 q4 U. A$ C" s# K. u. `2 {7 A∠ABN= =45°
. Y( \7 G: n5 W% u; X$ U∠ANB=180°—30°—45°=105°
∠MNB=180°—∠ANB=180°—105°=75°
2 f+ S9 C1 s6 V4 c" \7 |∵∠NMB=∠MNB=75°
∠ABM=∠AMB=75°
2 b( Q& ~6 {9 ^2 a) G# J% f∴△MBN是等腰△
∵∠MBN=180°—75°×2=30°= ∠A
. q0 y" v/ x  A2 z8 T3 m# y∴∠BAM=∠MBN= ∠A
: Q5 m1 s- [& Q通过对直角的分析证明，我们发现这样一种关系，即，如果以直角的顶点为圆心，任意长为半径画弧与角两边相交得一弧和弧所对弦；那么以直角的一条角三等分线被弧和弦截取的线段为底边，以弧（或弦）与角同一边交点为顶点，构成的三角形，是一等腰三角形，这一等腰三角形的顶角，是直角的三分之一。
' T& n% F0 P: K$ T0 q( |2 S2 z: J. h直角存在着这种关系，任意角是否也存在这种关系呢？
  [6 Y, p- e; O! e- c* S: r3 C6 C

) P( P  I: c# C. X$ Z, F& z0 ^" ]

未完待续......
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- o: K5 G5 d: S4 {$ k+ [

蓝色忧郁

只有无刻度的直尺和圆规三等份任意角是不可能的，只有那些特殊的角可以三等份

RoyalYun

虽然这些图很精致，也花了心血，但是为你感到惋惜——你的精力白费了。三等分任意角、倍立方体、化圆为方是古希腊尺规作图三大难题，其本质在抽象（近世）代数学中才研究透彻。前面两个问题涉及域的扩张，后一个问题涉及π（圆周率）的超越性。在抽象代数学中证明了，它们都是尺规不可能作出的。提这个问题的老兄，大概没有接触过抽象代数。奉劝不要再在这个不可能的问题上花精力了。数学中像这类不可能的问题不少，如5次以上代数方程不存在由其系数构成的代数求根公式（也是抽象代数学研究清楚的）、初等函数的不定积分（如概率积分）未必能够用初等函数表示、一般的二阶变系数常微分方程（如Riccati方程）不可积等。其实，认识到了这些不可能的问题，也是数学上的一大突破。一来可以避免精力上的浪费，二来可以另辟蹊径，发展更有效的工具。比如，对5次以上的代数方程，就可以用数值方法求解。对常微分方程甚至可以不求解方程，而应用定性理论、稳定性理论来研究其变化趋势。

15920368411

强悍，佩服！

bua1s2d3

一定会有不断出现声称继续研究三等分角的人
　　
$ f) O3 T+ l; e! ^  w  k$ Q　　 在处理尺规作图的内容中有：
　　 三等分角的代数判别准则是————已知有理数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数。
0 Y! ?/ [& Q; P  ]  P" R8 S1 O　　 二等分角的代数判别准则是————已知数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数。
　　
+ ?' F! P4 S" S# a9 D7 W2 G) C　　 两个代数准则相差仅“有理”两个字，它们是不可以相互调换和替代的。
　　 由于同时有两个代数判别准则在处理着尺规作图中的相关内容，它吸引着一些人继续探索着几何三大难题。所以一定会有不断出现声称继续研究三等分角的人。

haoyongle

先支持一下

haoyongle

看来我懂的还很少，很少……