定步长四阶经典公式 解决数值积分

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"定步长四阶经典公式"通常指的是数值积分中的四阶Runge-Kutta方法。这是一种常用的数值解常微分方程（ODE）的方法，其主要思想是通过逐步逼近来估计微分方程的解。
' j' F5 m/ m' T' m4 A* _2 Y定步长四阶经典公式是Runge-Kutta方法的一种，其中最常见的是经典的四阶Runge-Kutta方法。对于一个一阶常微分方程
1 p7 Y( c$ w7 `3 p7 _0 b[\frac{dy}{dt} = f(t, y)]
( }4 Y1 q. t$ H8 Y  V  Y! I这个方法的迭代公式如下：
; v/ V( ^5 ?+ A$ Q; Y3 Q( W! S" F* y; L: q[k1 = h \cdot f(tn, yn)]
[k2 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k1}{2})]
[k3 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k2}{2})]
5 c8 W& e/ W5 x) r; i[k4 = h \cdot f(tn + h, yn + k_3)]
[y{n+1} = yn + \frac{1}{6}(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)]
: Y- {; M5 s4 W) D8 A# ]3 x3 A! K6 ]其中，(tn) 是当前时间步，(yn) 是当前的解，(h) 是步长，(f(t, y)) 是微分方程右侧的函数。
这个方法的精度相对较高，因为它使用了函数 (f(t, y)) 在一个步长内的多个点上的信息。四阶Runge-Kutta方法在许多情况下被广泛应用，因为它相对简单且相对高效。

1. %四阶经典公式,微分方程为f.m
   & o: o& v) {! S5 m9 I$ r
2. 
   6 }\" V1 P$ k3 ~+ h% u
3. if exist('f.m')==0                                           %在星号处输入文件名(把星号改为文件名); N  I. ]2 c5 G0 ~\" p! f
   
4.    disp('没有为方程创建名为f.m的函数文件,请参照下例建立它');
   7 I( d2 o1 ]: O# T0 i/ W* K2 w! a
5.    disp('function z=f(x,y)');; L7 h# e: k; _, f- J
   
6.    disp('z=y-2*x/y;');\" k/ P! J# \' H& u  |' h
   
7.    disp('并将该文件保存在work文件夹下');6 z+ ^3 W6 u4 Z) N
   
8. end
     I& c9 F5 {\" J( N- p
9. 8 ?: m0 C2 ?3 k
   
10. X1=input('请输入求解区间的左端点X1=');
    + K1 |* J1 O5 V, S- h1 \& [\" h
11. Y1=input('请输入微分方程的初始条件Y1=（X=X1时Y的值）');+ O$ }9 _, Q3 E* W% R  l
    
12. Xn=input('请输入求解区间的右端点Xn=');) L, Q! I1 W4 N: P( ?& x* }  L
    
13. h=input('请输入求解步长h=');
    : h- m7 x- [* F  h1 ]6 a3 F* T
14. 
    ' ]5 x( D: Q0 P  U# f
15. X=X1;
    0 d- W# @9 M8 k% p- g6 n
16. Y=Y1;                                                        %运算初始点
    - F; |/ W% V3 N) B8 |# r. Z: |) e. d
17. n=0;                                                         %节点序号变量置零. I6 R1 {2 I6 S# u
    
18. 3 E& c& ~0 p1 p0 k9 u
    
19. while X<=Xn-h
    6 J5 U( x6 |5 V# X$ k
20.     K1=f(X,Y);
    ) x$ E; A3 a+ v5 x/ ^) G
21.     K2=f(X+h/2,Y+K1*h/2);
    & D% j' b  e% S/ o/ r
22.     K3=f(X+h/2,Y+K2*h/2);7 w- U: B4 v  ]5 _. T
    
23.     K4=f(X+h,Y+K3*h);- M( k8 L6 e. ~$ w
    
24.     X=X+h;\" Q& N5 l1 R  M) t4 F1 c
    
25.     Y=Y+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;                               %四阶标准的龙格-库塔公式
    \" E! n9 V6 d5 W! A* g
26.     n=n+1;                                                   %节点序号加11 m5 O% @5 I+ A) s# K' N
    
27. 0 b, k9 w8 X5 S
    
28.     fprintf('第%d个点的计算结果为X=%10.8f,Y=%10.8f\n',n,X,Y);2 `2 T\" E7 O6 I% a/ q8 u
    
29.     plot(X,Y,'o')
    , |2 R9 R. j7 n: x5 C2 a
30.     hold on
    7 @2 A4 I3 J  n. V) s5 E
31. end

复制代码

1. function z=f(x,y): h; X4 l2 P: _\" v3 {
   
2. z=y-2*x/y;

复制代码

8 H/ p* Q  m6 ?8 E8 p3 r