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全主元Gauss-Jordan消元法
( g" C0 |7 t* G; R5 }+ s1 u. N% @
3 x+ I# T! a+ v Z& d % i. O& P6 f" | i- g
9 \1 L4 K4 ?/ W& t# L" z, O7 ]. Q6 A
& u4 ]2 p. u9 b2 J! R
& _* l* t' k! B- q T: Y8 z
0 r; B" {' L8 m' P
7 q5 I( K5 s3 J4 c1 w, [ ' U) o9 L% f* N
( k( A' c, q J# C7 g 8 G7 H- d/ [- M) H' l$ w% K
Gauss-Jordan消元法是经典的线性方程组A·X=b求解方法，该方法的优点是稳定，而全主元[1]法可能更加稳定，同时，它也存在着弱点——求解速度可能较慢。
5 U+ x9 o; g* U# Y % ?0 c" g0 B6 \% S, ^! L% p, r' `
& C* D6 h8 _$ x# _
" P7 a8 @ }/ _$ W, J4 d ( }, _8 J, Q# M W1 K/ C
8 i# f" M8 i1 b- r! w) b
Gauss-Jordan消元法主要特点是通过交换任意的行列，把矩阵A约化为单位矩阵，约化完成后，方程组右端项向量b即为解向量。我们知道，选择绝对值最大的元素作为主元是很好的办法，所以，全主元法目的就是在一个大的范围里面寻找主元，以达到比较高的精度。% f Z& V+ i9 E m" [* Z
& q1 y1 X, Y: h2 A7 ?* w, i+ q0 q8 V$ s" D y
3 c2 J k& I Y7 b
% B, f9 |# j: P7 ]& w) t0 N0 U
下面，我使用Blitz++的Array库，编写全主元Gauss-Jordan消元法。& R7 A! U! H: K7 `: Z6 c" R
0 Y# Z+ z! B/ h2 g# {7 j# x
; A `& `9 d# `
' ^% J- \' m+ w$ L* L) j: S
% L% }5 T+ l- W% {! [& O
6 C# ^) {: `' ~' S7 W3 m) C Code：
( M) e) H$ A" w3 d2 T+ M0 }9 v, L% ^0 x) x7 Y3 @
" e9 a% @8 g# a2 _5 @3 s
+ L% S( R+ K* Y! t6 U0 m3 D3 c
3 u' W$ p5 s% s3 W( Y: G# O: t# E : X, r$ O$ ?' x X# E3 l4 Y
+ N3 {: _5 ~' `# E. W/ I - f) X( o& Q* D0 r
#include <blitz/array.h>4 A/ O! W# F8 u) A5 _( T
) @/ M, r" ^2 w8 s+ @, V- x+ ~0 J8 @+ y2 }6 ^) S. P
1 ~5 \, I8 r8 p( t$ b 8 X& b9 J( ?; k* J2 m2 b! {
#include <cstdlib>9 {, {, }% B4 v9 U
0 R# @3 d( q; D9 V: k8 p/ t2 o% m, D6 T; F; n
! s. G4 q4 v5 l+ C9 T1 e' m
# t* d! i5 X6 }/ d7 B1 D4 e #include <algorithm>
8 C9 u/ E9 ^ N1 x% L
1 z$ P2 b# N" v% U# q8 ? _
. W; i9 k/ ]2 |% P2 L
+ o/ W: ?+ J1 z, e% }6 X # W$ R s n0 }
#include <vector>: d `6 A+ s9 \4 _( P: U0 D
3 h1 R a e; r, g$ p, F* o
& s `4 Z3 D: b6 ]' d
; J' a; H& s( j/ O2 j9 f% F % r. ]) `8 t4 g6 x
using namespace blitz;
, a0 M3 v3 s1 q3 q$ ]3 g0 u C9 l0 U- g0 _5 L
; e3 z+ d+ T5 }! e2 f# w
7 s+ J% o9 `! Q6 ]
8 M$ e E' L) \* F2 N. X. `; f+ J6 T 1 m9 c* Y6 n5 h; U7 C3 Z) s
4 ]& d3 X5 d/ T3 N
7 _# T% u2 p7 m
void Gauss_Jordan (Array<double, 2>& A, Array<double, 2>& b)
4 ^: ^8 A x% J; r3 h
1 K+ c# d; p3 N5 U, w% v
3 f2 r7 R, b6 J# |! }; Z 5 x1 K( n* e1 f
6 z3 T( n- H( { s2 m {
1 c ?6 i5 S4 n1 T w& \, f* W2 x0 Z# ]" o$ N0 S- z) |! v8 ~
8 }8 D( C$ N0 y$ D: f
% v) s: u# j" N) y8 ~' F: A ! F( A7 K s) s6 r+ y
int n = A.rows(), m = b.cols();
( t, _2 J( o0 U1 D2 t4 Z
# I# f% W4 [, P2 t/ m4 s7 {/ Z; l6 o9 c9 r5 \
2 K% W4 F- ~ C, q. e
" Z6 F* w1 j2 d int irow, icol;" X" r+ T5 h* q3 }( {
* x0 M( }3 t9 B! T4 p
8 |6 Z+ R3 \, ^7 n, i, S 2 t) G- d( t/ o+ O& N# E( Y' j
$ l. }) }8 Q8 Q0 w! e4 w vector<int> indexcol(n), indexrow(n), piv(n);
& L" i/ e& V8 ]( K! P
2 _9 e7 J1 a" V Q3 i
$ x& u, V& `7 z2 ]) J( \9 O0 o
# r' {7 [3 C7 y0 s! m( O8 J* D, i, L w- i& D' M9 {; M3 _
; U" Z9 i+ E& P/ g: f" o8 X; H 4 a; _( d( D7 h* M
7 {. H* ~. d) _ for (int j=0; j<n; ++j) I( F1 F: n, F) v' h" A |: I
2 q8 ]8 ]) S; V* y
! P- ~5 |) f# A- \
% k2 ^# e* f* J+ ` , m8 \8 L% _- K, g# I h
piv.at(j) = 0;1 d0 S3 W+ j$ K$ u2 a
5 C% o, O. ~( \$ p/ e+ j3 B$ P
* u% o+ @8 V* @- S' g/ q3 M
h* f! D" w& u0 F. }& }! W
6 G! @6 F5 F" u2 L6 e! z' q
8 z' m( I) ?( G
% a1 D' i* q- A' V- X2 }3 ?" ~* n1 j# p7 |( J/ e9 A% M
4 P" Q4 G- J8 Y0 X( x/ u' Y
9 _9 d0 J+ Q* x: z0 Q# W
//寻找绝对值最大的元素作为主元
3 g4 t$ m/ h$ M% r7 X
9 h( r. j; m7 @ x6 V6 Z1 v
$ d" ]3 O9 q h4 [( F* C 3 ?# L1 g. D6 a; H6 X
$ k% ^( o5 f' Z
for (int i=0; i<n; ++i) {
- B9 P x; \* I$ @
1 p6 w3 ?) `/ Y$ }; L
; r3 x+ M2 {; ~$ g1 z: [
" o# o0 N0 ]& z1 B # r) p8 u$ y- } P1 I; v: b
double big = 0.0;
- G% k* s+ b5 _6 }0 P
* W: _+ O* \' L% k& o3 R8 X7 o* r; c' c
/ Q& `9 Z2 X3 b* w
4 k8 ]' B* _ x3 M
" }! n0 ?1 E9 A 1 [8 I) ^8 E6 o- |( X |
6 l$ [6 J5 K5 I. K
for (int j=0; j<n; ++j)1 u" K5 i& W; T, B* T
8 A- ?& U4 r6 Z: Y
+ e& s5 d6 g" r0 {2 x% j# q' Y
# A7 r2 g8 m' Y$ [8 h. }' G6 K
$ r4 [& g# f9 i! R( t0 h if (piv.at(j) != 1)! N. b7 f! n+ i B
% V% E2 @- @! z8 K0 e3 B% V/ r3 E; b: N
0 O$ x. T- L+ j+ R' S
- W% O1 ?) N2 C9 Z0 p, o5 l
for (int k=0; k<n; ++k) {/ s% V9 X" j: d( I2 ?/ {+ ?: v
, T6 e' r, [8 a
. Y& i1 J0 D" T; P6 T2 Y* ]; C $ ]. N0 M2 o7 X1 O, o: {9 b
2 Y' i. l2 Q2 A8 Z. R* h/ s$ B) J# j
if (piv.at(k) == 0) {' i6 P0 q9 M7 ]7 C e
& R: G* ?+ M) ]) m: e5 ~
5 d' ? f/ m; I$ k6 h! n 6 `& l& {% e, \8 x2 M
- E, Q1 c4 v6 i, `6 L# y9 ~- D0 `
if (abs(A(j, k)) >= big) {
8 G v( K0 O) v
, \& j2 y5 q/ {. _* e. P( L% F. d" Y, u0 w
" Q* ~( C$ s2 R0 @" X% b% i9 [" @ 0 C: q# d" V( o; k
big = abs(A(j, k));
) s1 `8 F! h+ [% b) O/ t4 y& u* \9 {4 n
2 P& N, ]- }) y0 g1 q( {* M
# U3 h/ d* \* J% }9 [8 A; @
' P+ l& |8 K3 Y2 ^ irow = j;
0 R, \) y) y; U6 \/ G Y8 s9 r. f- h
- G5 ~! ^* u% ], F- b
0 B0 s# j+ ^% j! @; {5 Y
* O6 k1 a) m# O% x: Q# j A
icol = k;
; {8 G% O5 G( r, @2 ~) Z, G" O7 m6 h" g' Q
/ R0 N3 L4 Q' h2 z0 U+ \ i/ o
2 o0 `# G3 u' o% `2 K7 ^, f
, F# L, u* z7 Q* m
if (irow == icol) break;
t2 |: C1 j7 b" @6 k4 o7 ?! A0 A, X4 r9 o! ]
* B1 {- P H$ g0 V$ C7 }0 O! { $ @: z7 l+ H" _: W5 i! Y7 O# d
( U7 g: a2 j3 Q1 F- G
}
, Y" I8 u# g; |' }/ }& G
6 P8 H' R! {) B7 B- p& a
( ]% i. P' t" m0 C7 ~ # v2 u N) ^6 t
& V' D: a: v7 A4 j {
}8 ^& {! M! |9 T- I/ I. C4 G
4 I, B e' V6 B' q9 B) M# C. K9 t6 f& Z% n
: [2 f @$ V9 ~' C# e; Z7 p
! |* M9 v- \* n; }6 B/ e7 \ }. H6 _4 I, i9 _
( Y w4 ?3 c) @- ^9 e
$ l' j5 z. Q" z! j8 S7 @" c
: w- J& x b& J3 d) ?6 F
; L. w" i5 g" S5 N% f. i
% ?5 B6 G+ ?( g; o* G1 v
. a* U. Z; ?4 M3 a0 Q" g2 f& B 6 ^0 ]" |! X* d1 f" ]" ?- Z# _, ]4 h
++piv.at(icol);- F8 u$ T! P" W' ?! a% a, m7 I
; U- `/ k6 F- {# V8 K, t- ]
* ~# z* @2 H' t2 Z; `
( t# Y( Q9 F- ]2 ?5 T
5 t1 q# }$ W/ F/ Q% I* A
& N3 D& V2 }+ p0 [ m: j, r* |, n
3 ?7 n% b* v( ~$ w
( x. G+ u$ y8 H2 i3 ^
- [. t! O! g2 \' p! h5 L" l6 h8 |" V : R. i7 f# x$ m7 ?0 d- t# m* q
//进行行交换，把主元放在对角线位置上，列进行假交换，1 l9 p7 l5 p3 m( {1 g, k- X- \5 [
4 a0 C8 S, B9 C, l1 E* x4 {2 H
9 V6 _: w7 t! Q; u* k2 H
8 P7 W" j( G- t
0 M! x; I7 Y& J6 B O! t- ` //使用向量indexrow和indexcol记录主元位置， 7 P* d, J4 `) O% r$ U6 x
, D" ?' ^, U; Q, }
( D, J" P. U( Y4 a- L) _ # B0 Q8 u0 b' n8 g; g' ?
4 S; S% f7 o/ N- Y4 F. c( {
//这样就可以得到最终次序是正确的解向量。
. S) S4 ~5 A; w3 B6 N$ V& o& x4 A4 A9 r0 R2 H
. _* Z5 t: C3 d
8 P, F3 {% V+ L- S $ S) f( f7 J3 j& y! z6 s+ r( U
if (irow != icol) {
3 a0 W0 o. ~& k8 }) n8 G0 p% p. y- P. j6 K8 V0 ?
5 D; }* S+ Z9 x& a7 q& H x5 C0 F. H6 Z# n4 t! |
) h/ B% X- l6 k& ?) L) E% y
for (int l=0; l<n; ++l)
; W ^2 }" M4 Q; \
( v5 A2 N* ^( V/ w9 q$ l; S& g. c6 B( M% I/ p6 D% Z
0 [8 W8 a, [: A1 \2 ]5 p- h: [
0 g* Q- H3 [3 L& M5 u. [! Z0 } swap(A(irow, l), A(icol, l));
$ ^/ v# j0 I; X# o: F, X0 ?
( R' y* ~# G" U7 B6 o; a( O
1 e5 p$ E& M/ c% Y4 ~
9 C9 c: d& S, y. H0 v" b: J
3 A5 ]; M5 v$ `' m9 _ g- t0 a- E" `: D0 c2 f, S
/ ]/ x# ]- Z4 R7 X1 y# b
& P3 {: H; i; f; P' ` for (int l=0; l<m; ++l)& N- \ O$ x: }# ?" _( Z9 J
6 b7 x: p+ w3 ~1 N3 t5 _
. L0 m" G/ h% W; Y A) c/ [
7 @1 X% H, A q
& {/ L- ~+ T( I& R* s& _2 R3 _& f) n
swap(b(irow, l), b(icol, l));4 |. V. a1 Z# d# M0 C
+ w* s% x% j2 h
/ H V3 V# Y& S+ [! F: A
3 S$ h1 I- y* V* Q5 l / ]' S' t0 r$ ~8 z
}' G# {% S1 W/ h( o: B2 i: I
6 K* {5 `- L, M* i1 ?3 M
$ p/ e( i( T! r+ Q
' C$ A& x# d5 u* L5 A5 _ 4 K/ r# ?& Y+ @! V0 t" S- H0 r
, [3 Q, q( a; y( R0 p* X2 A6 L
7 \8 T4 D2 J n4 ] 4 }! D4 w/ K" ^$ `, E
indexrow.at(i) = irow;" [. \1 U+ U- {! O5 S' G' \
! r$ X% o& R: q: t, [! ]9 o2 F
8 f( M& c% s4 i+ l3 f# B3 L
) I8 |, I$ G$ s
) p0 B0 b3 W! b E4 d
indexcol.at(i) = icol;
$ m: P& |2 S% |9 N9 g! F: Y8 {; E+ P6 N" l3 d+ i5 b
5 Q( d; P3 Q& K+ E
4 Y* B: Q, v% o* O' d - y1 R2 ?: Z& A! E1 S; R3 ~
1 h H4 S5 D. V$ I
4 h8 C* {5 H/ U
/ U' W- O% Y( S0 |( { % L) ]+ ~5 n; G, b) ~- y/ L
4 ~3 t. F' Z* b- a$ s2 b
try {
M2 v" H# _! [
/ B# i: Q4 }1 Y) s' W j
) ~* m# X9 c4 ]: @ 7 ^* b: Z- [7 J# Q, N. f
* q6 w5 K$ [+ u$ v/ e8 k double pivinv = 1.0 / A(icol, icol);
- m0 C' d$ a& G9 d/ B3 t8 O4 n/ u9 b: L) ~
7 u6 d' Y2 a7 A8 K5 B V
- X3 j$ S( c9 _+ w* t2 W+ p 3 X' z( M: t9 B/ u
+ l6 ^9 B1 e8 w5 N( O2 h ( v& R4 E. N& ^6 z
+ \ F S) H D; J6 E4 E5 h H for (int l=0; l<n; ++l)
7 v7 u6 ]/ F, ?1 X1 J
/ l/ w; V$ o; n- W9 C. m
, C0 d- A0 y- O" O6 s4 p$ Z4 L0 V t1 Z
# r& M- g- J/ S3 [
0 C7 s: M/ A! a2 h A(icol, l) *= pivinv;
5 M/ T) Y( T9 {( t* u5 d0 |1 |7 v1 O# C F4 @
: \* W+ z9 Y0 M" J
* }8 W" v- ]% C. r$ f
! b! R4 Y, j# F @4 U& R for (int l=0; l<m; ++l)
" m& F( }( D3 \7 b4 N! Q9 J2 ^6 T. y' j1 M
0 j; u8 ~. k( y1 F8 Q # ~) G: d- \. Z# M
( C' g7 t! ~4 c' m' Z* R
b(icol, l) *= pivinv;: o1 `/ w9 x1 d; I5 R9 H
1 G. I9 t. a- { j. M
/ x* x! Y& h6 M9 \7 [, @3 G
; ]) F! o. ^9 @5 @, F W: V
; R* i+ P2 I1 }, @' R - ^* }- {; E/ b. K K
; \; h% `* P3 T( Q" r . |3 c; u* I4 W `, g4 T
//进行行约化# x. \ {$ a1 o8 c
/ _5 T- w) n1 {0 ]: w
/ d1 W- {5 @( i7 K. h7 b
4 t3 L$ j) O' \; T 9 @, m) c- s5 C
for (int ll=0; ll<n; ++ll)
/ D" ]" Z- k4 J, X% h R+ e
0 y7 q* n, \( I* _2 a
7 {" \9 z8 \9 x+ I0 Q/ K$ I) _2 L & u' S* k# v* ~8 l# ^" h* A( ^
/ _5 Z; m" ?4 T$ O) x( @ if (ll != icol) {
$ e4 z; i0 i/ A$ i1 a6 T* H
" z7 N0 k/ w) N
5 g9 Q+ N4 D8 u B$ Y4 Y/ n% E + _3 j; |- f" f$ B; k* b5 {8 x G P
2 t5 F9 d' o/ e8 Q' p) B double dum = A(ll, icol);4 ?0 W" E6 C; P+ C+ X1 ]0 [5 Q
8 u' m1 ^! ~, ~9 [0 G3 l9 K2 q
! h6 O5 R" P0 _4 o$ P q
- T, {; D, J. u6 i, v ' K" }1 e7 ~+ Y" x5 |6 u. ^* y$ [2 Z
5 Q$ k( R% P5 L 6 f0 H- z( D9 _2 e
for (int l=0; l<n; ++l)# z$ b( S9 H: x) d
# y- q5 _) y% z* Q; o5 L1 L1 ~1 s
* g2 ?/ [2 y7 W6 I2 @1 n4 M b4 z: Q. Z- }
A(ll, l) -= A(icol, l)*dum;
! Q" h5 j- F9 l9 H. ?7 a4 a6 E. P; \1 R4 k
6 B+ p; [5 C6 J) u8 U' C
) t: S. N3 k5 }' f
# a, x# z& J9 B+ P# S1 x6 a+ s for (int l=0; l<m; ++l)! k# {4 e+ }9 M, t1 h
" ?0 I) y% w& v9 Q! D& p2 M
* Q0 w- ~! C0 {# l0 p
$ v- E' k G; I4 e
) d: D5 I5 |& h K" a9 y0 ~
b(ll, l) -= b(icol, l)*dum;* l! D( D, e& o- l% W5 _
1 n2 j. ], N$ B8 Y$ q; _
# t0 Z% l0 z6 F1 m" Z& c- }
* d" w' g* F; M$ t0 e- Y ; B5 F0 o. K" a- O$ G
}
+ o) U, c# G5 E" \. V6 @3 s& P
% w$ r+ E0 C K# ]4 ^
* a# L L- U8 D4 V. C
5 Z0 |, p' V) y }
1 l4 c1 c/ c# R9 H4 t" {8 [
5 `# L5 e( ~' f( Y. `$ ~; [4 S9 q2 W1 t0 m6 T1 f
! u& W1 i2 J% D; q" c
4 h" n1 q* u- ]" c. {
catch (...) {
3 @ k! `6 U& u6 L1 Z/ }* R6 v, y
" y4 X4 r* X3 g& I# K
1 y8 e! @2 T+ B6 Z: {
: R7 S2 t) n( r7 l+ j cerr << "Singular Matrix";
# ]. r& ^7 T* ^ T" X. F% P
6 k* `, L# V$ z% H" t; Y0 p( i/ e0 p* X6 e- i7 X
0 y, D6 D$ N; H* i" J4 Y" a V/ f8 X 6 \9 B+ _; ?$ m* O1 I
}, ~! j9 c; K; Z9 Y0 N P
: [3 H% O/ n8 P
, Z6 n- w* M, D7 k- H: s+ M. ^
& u6 N$ g5 `7 y+ @$ z
3 z/ d6 ?7 \; [. |2 a% j }
' U1 y; B, B6 T n' w- k# R: d$ V4 t% e$ s* ~1 v0 V) @
# z7 ~/ p; C+ o& j
! J6 S6 }; w/ [7 [9 W& g
E0 @; r1 z, X# H6 {+ w }- j" d) N: Q F
9 p: |. {5 D8 ~* y8 n7 ~5 Q9 r% j& f4 X9 ?& V, Q
: A4 ?6 P; {" r2 f# g
1 L1 C5 W5 x0 O |
* y. _2 W4 F$ C9 z' x $ M& z' {" b8 }7 M* O" F
) P% W. e1 r. E) ~2 L( L int main()' I: B7 b! o0 N7 i7 a# B, f
0 n8 Q1 [- o' v& [" i3 c" K" y+ L3 E7 z$ C i7 \# k+ C; n
6 a; D7 `8 Q# l5 u' x1 H8 { F% H8 d) t; Q% {2 g; l$ b6 E
{! R& R+ ^9 ^9 R' x) I
! s% p/ l* _' [; B7 n
1 A# A! d2 s0 t, _ ( w" \" ?' c* s1 S
1 y+ {( y9 p% n //测试矩阵
: v4 [7 n+ s6 ]! S4 Z6 a: G& w* J, F$ a- l! k; C
, `9 u! t1 {/ o5 \+ n; d
) H: O: ~8 T3 e- f' b. H
; G4 o3 b* t4 N6 w) c% e( d* Y Array<double, 2> A(3,3), b(3,1);
5 z; c6 E1 B/ d7 x# T1 R: k3 d; d) f0 B
# l t/ ?- T, P# U3 m) r' e+ R
6 G* p, I, b: _ 9 ]" `- f9 V' s, c( j8 ^
A = 10,-19,-2,7 M1 p( F+ v! B1 Y g! A! W# b
0 N# d3 T( o" O. F( {: @
K% j5 O ^) P' E 1 R, Z, f+ F, O, \* U: ]# c
/ K1 A; q' S; R* M -20, 40, 1,
9 R% b: [$ b5 m; @3 {2 Y1 ]' ]; M: u; C' x
4 y* s; _5 t# y& e7 @" r
7 k. D9 b3 S+ p4 L$ G
6 t/ ^4 x6 d& G) a' r5 P1 G 1, 4, 5;
5 z$ J* [0 E& D3 B1 O% q# y& g7 a% @' k1 x1 ^
! f( H+ l7 g& |4 B & f' _- L3 x8 W& f
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. M3 l7 l; |" J T ' o0 l/ n( X p5 N- [0 e+ ^
$ h% ?: G) m; X
b = 3,9 W* V" C: p3 B; c
# [6 m; g6 c& W. f7 p
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4,! l/ Y( o' k r" U. u. o8 O! k& N
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4 } e( D# c* K4 k' b* o
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6 g% |, _ z5 w$ j
2 D) T& e) `: _$ `9 C, `/ l + |: n5 {4 C2 @! m
# S, X# _7 ]: I1 s1 K " a+ o; x ?9 y8 Q/ u
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' t* A' k0 r7 F9 R4 b; g
/ H1 H$ Q6 u: p: F
+ @9 F0 q; ^! Y4 h
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从代码的过程可以看出，矩阵A的逆在A中逐步构造，最终矩阵A演变成单位矩阵，解向量X也逐步替代右端项向量，且使用同一存储空间。, S. f( O8 v: w! I. g6 [8 U
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4 b4 |5 q: v w! y, J . S/ H# T, O* P' M: f0 h
2 B, @5 ]6 n: k7 B
8 v" ^" c* l% C 注释：[1]主元，又叫主元素，指用作除数的元素
$ M x, Q0 ]" |
7 N g4 \: k' S3 }
( i' T( j9 y1 u( T1 d0 s/ w
. G: D# G C4 k* K5 q, y8 W( f[此贴子已经被作者于2004-6-3 22:15:49编辑过] | 
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发表于 2004-6-3 22:11
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