摘要：本问题要求我们建立一种优选的评价准则去评估各种彩票方案的合理性，关于彩票中奖与否涉及的因素较多，主要因素有中奖率、奖金额的设值 、彩票的规则对彩民的吸引力等。题目要求我们对各种因素进行综合分析，评价出给定29种彩票方案的合理性，另外题目还要求设计出更好的方案，对管理部门给出合理化的建议。

对问题一，我们首先分别对“传统型”、“乐透单项型”、“乐透复合型”给出了不同的概率计算方法，计算出了各类彩票方案中各种奖项的中奖率并统计中奖概率总和；其次，通过综合分析建立了评价彩票发行方案合理性的目标函数——合理度,它是度量各种因素对彩民吸引力程度的函数。本文通过层次分析法得到模型中涉及到的各因素的权重值，利用题目所给的数据通过向量的标准化得到各种因素的标准值，利用Matlab软件编程对大量的数据进行了处理。得出序号为4的方案为“传统型”的最优方案，序号为7的方案为“乐透型”的最优方案。

对问题二，应用问题一中计算出的权重值，建立了合理的彩票发行方案的优化模型，通过Matlab软件编程计算得到：在不同彩票发行类型不同中奖概率和前提下的彩票发行最优方案，如表所示：

由表可知，适当提高的浮动区间，彩票的发行方案更合理，“更好”。

关键字：层次分析，合理度，彩票，传统型，乐透型

1．问题重述

目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。

“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如附录表一（X表示未选中的号码）。

“乐透型”常有两种方式――单项型和复合型。单项型比如“33选7”的方案：先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。复合型又比如“36选6+1”的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如附录一。

奖项的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如附录表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元， 

试分析各种不同彩票方案的合理性，并得到更好的彩票发行方案，给彩票管理部门提出建议。并且给报纸写一篇短文，供彩民参考。

2．定义、假设和符号说明

定义：

1) “传统型”：采用“10选6＋1”方案，由6个基本号码和1个特别号码组成，号码可重复，根据单注号码与中奖号码的个数和顺序确定中奖等级的一种彩票；

2) “乐透型”：采用“m选n”（m>n）或“m选n+1”方案，方法较灵活，号码不可重复，不考虑号码顺序仅以中奖号码的个数来决定中奖等级的一种彩票；

3) 中奖面：对于发行的单注彩票获得的各奖项概率之和，它表示每注彩票中奖的可能性；

4) 高项奖，低项奖:高项奖的奖金额为浮动值，它与当期的销售总额有关系，且按比例分配。一般为一等奖、二等奖、三等奖；后面的奖项为低项奖，其单注奖金为固定值；

5) 奖池：对于某些特定金额的存储仓库，它包含每期最高奖项超出封顶的部分以及奖池的基金，如果最高奖项为空注，所有的最高奖项奖金额滚入奖池；

6) 合理度：对于一种彩票实施方案各种指标的综合评定值，它的数值越大，相应的方案就越为合理；

假设：

1) 单注规定最高奖项为一等奖，次之为二等奖、三等奖，依次类推，不存在特等奖的情况；

2) 若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖；

3) “传统型”要求基本号码是连号，如‘xbcdxf’表示与基本号码相符合的是‘bcd’，首尾相连的情况视为不连续，如‘axxxxf’视为无奖；

4) “传统型”的抽奖号码可以重复，而“乐透型”中不管是“7/33”还是“6+1/36”的形式，投注者的抽取号码不允许重复；

5) 单注投注金额为两元，总奖金一般为当期销售总额的50％，且此比例固定不变；

6) 低项奖单注奖金固定，高项奖金额按比例分配为浮动值，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元；

7) 彩票形式多种多样，在此问题中，我们仅讨论“传统型”和“乐透型”两种；

8) 假定各个不同方案均是在公正公平的原则下实施，而且彩民购买和对奖的方便程度相同；

符号说明：

   ：合理度，用来评价彩票发行方案合理性的目标函数；

：各种因素对彩票合理度的影响力；

：各种因素对彩票合理度的贡献权重；

：各个奖项的中奖概率；

：各个奖项的设置及奖金（高项奖为比例值，低项奖为金额值）；

：彩票中奖的概率总和；

：影响合理度的每一种因素的标准值；

：彩票方案中设置的最低级奖项，也就是奖项数；

    ：高项奖的奖项数；

    ：合理度的几个影响因素通过两两比较得到的判断矩阵；

：判断矩阵的最大特征值；

：判断矩阵的一致性指标；

3．问题分析和模型建立

1）各种奖项的概率计算:

对于种类繁多的彩票，目前流行的主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。

(1)针对“传统型6+1/10”的方案，由于基本号码是从6组0~9的数值中产生，并且6个基本号码允许重复，因此利用排列可以计算出各种中奖的概率。首先列出各种等级下可能出现的所有状态，如下表：

                          表1  传统型10选6+1

[注]1：表中的×表示所选号码不是中奖号码。

           2：表中的字母表示所选号码是中奖号码。

设1~6等奖的概率分别表示为，例如状态为‘xbcdxf’下的概率为。因此1~6等奖的概率计算如下：

＝；                   ；

 ；                   ＝ ；

＝；    ＝ 

(2) “乐透型”——常见有两种形式：单项型和复合型。其中，单项型指类似于“33选7”的形式，摇奖摇出7个基本号码和1个特别号码，但彩民应从33个号码中选出7个号码作为一注。而复合型指类似于“36选6+1”的形式，摇奖有6个基本号码1个特别号码，彩民抽奖是从36个号码中出取7个号码，单项式和复合式都要求抽奖号码不可重复。判断彩民是否中奖以及中什么等级的奖项，主要看抽取的号码与基本号码和特别号码是否相符合以及相符合的个数。对不同游戏规则，可以分别计算各种等级奖项的中奖概率（选计算）：

a. 单项型彩票： 

现以一注为单位,计算一注中奖的概率。考虑实际奖项等级规则，为简单起见 ,我们建立一个摸球模型：假设袋子里有个球 ,其中有个红球 ,1个黄球和 个白球。设红球为中奖号码，黄球为特别号码，白球为其他号码。于是，每一注彩票就相当于一次从袋子中摸出个球来，如果摸出个红球，即为一等奖；摸出个红球、1个黄球，即为二等奖；摸出个红球、1个白球，即为三等奖；摸出个红球、1个黄球、1个白球，即为四等奖；摸出个红球、2个白球，即为五等奖；摸出个红球、1个黄球、2个白球，为六等奖；摸出个红球、3个白球，为七等奖，由于抽取的奖号不可重复，因此问题简化为摸球试验是不放回的，即一次从口袋里抽出m个球。

根据以上简化的假设和摸球模型，由组合计算公式，可以计算出各个奖项等级的中奖的概率分别为：

一等奖：；             二等奖：；

三等奖：；      四等奖：；

五等奖：；      六等奖：；

七等奖：

b．复合型彩票：

假设从n个号码的球中摇出m个基本号码，再从n-m个号码的球中摇出1个特别号码，各个(m+1)号码都不可重复。彩民要从n个号码中选取m+1个号码，游戏规则是根据彩民的选号与中奖号码相符的个数评判出彩民的中奖等级，但是复合型彩票与单项型彩票最大的区别是彩民选号时特别号码要单独选取，即与m个号码分开选。并且彩民在特别号码与基本号码的选取中，可能出现交叉情形，例如在（6+1）/36中，‘●●●●○★　●’与‘●●●●○○　★’不符，而与‘●●●●○○’相符，因此只能算六等奖，非五等奖。

在计算概率时，同样可以建立摸球试验：一个口袋中装有n个球，其中有m个红球（基本号码），1个黄球（特别号码），n-m-1个白球（非中奖号），从口袋中一次摸出m个球，再从剩余n-m个球中摸出1个球（决定特别号码），因此样本空间总数为。而各个奖项等级的可能状态数的计算根据组合原理得到，举两例说明：

  a） 三等奖的概率计算（（6+1）/36）

    三等奖的状态为‘●●●●●○　★’，样本空间总数为，该状态的所有可能数理解为从6个红球中取5个、1个黄球中取1个、剩余的29个白球中取1个白球的取法，共有种取法，因此其概率为：。

  b） 四等奖的概率计算（（6+1）/36）

    四等奖的状态为‘●●●●●○’，为了简化问题，首先将该状态分解为两种：

‘●●●●●★　○或●’和‘●●●●●○　○或●’，其组合数分别为和，并且这两种状态不重叠，所以状态数为+，因此概率为：

同理分析，通过归纳分析，可以计算各个等级下的概率：

一等奖：  ；        二等奖： ；

三等奖： ；      四等奖：；

五等奖：；       六等奖：；

七等奖：

由以上的分析，即可以计算得到29种不同方案的各个奖项的中奖概率及中奖概率和如附表。

对附表一结果进行分析，奖项等级越高，其获奖的概率就越小，即中大奖的几率最小。这是为人们接受，合情合理的。而每个方案的概率和就代表了中奖面。这个值越大就表明中奖面越宽；反之，中奖面就会越窄。各个不同等级奖项的设置和中奖面的大小直接影响着彩民的购买彩票的情况。另外，由于我们在假设里面已经约定了各个不同方案均是在公正公平的原则下实施，而且彩民购买和对奖的方便程度相同。因此，彩票对于彩民的吸引力就主要表现在中高奖的概率、高奖的金额以及中奖概率总和。据此，我们对于衡量各个不同方案的合理度建立模型。合理度作为目标函数，其他的有效因素都是变量。

2）模型建立

  （1）模型一

彩票的发行方案（以下简称彩票方案）包括彩票类型（有传统型和乐透型，乐透型又分单项型和复合型），彩票总数码、中奖基本号码及特别号码的设置以及奖项、将金额的设置，这些设置又直接影响到彩票方案的中奖概率和，另外，彩票方案的奖项、金额设置以及中奖概率和又是吸引彩民购买彩票的关键因素。为了评价彩票发行方案的合理性，设定一目标函数值，称为合理度，值越高说明彩票方案越合理。我们认为高项奖的奖金比例分配、低项奖的奖金金额和彩票方案的中奖概率和是影响彩票方案合理性的最直接因素，所以从根本上看，合理度的计算和以下因素有关：（1）彩票方案中各个奖项的设置及奖金 (，为彩票方案中设置的最低级奖项，也就是奖项数，为高项奖的奖项数，高项奖中为比例值，低项奖中为金额值)，（2）彩票中奖的概率总和，这和彩票方案所采用的中彩类型和奖项设置有关。我们用下面的式子形象的表示合理度和各个因素的关系模型：

                                              （1）

式子中各因素不是简单的相加关系，他们彼此间的量纲是不同的，为了将各种因素的量纲统一起来寻求计算合理度的目标函数，现作如下考虑：

就每一种因素设定一个标准值，将该种因素值和相应标准值的比值作为该种因素对彩票方案合理度目标函数的影响力，即

                           （2）

由此，彩票方案合理度的目标函数即为各种因素影响力加权平均和。

上述(I+1)种因素的标准值，相应的对合理度的影响力。

由于各类不同的彩民对上述各种不同因素的取舍不同，那么各种因素对合理度的值的贡献也不同，设置各个因素对合理度的贡献权重为：，现在，我们就可以得到确切的评价彩票方案合理度目标函数：

   （3）

模型中权重值通过层次分析法得到，各种因素的标准值可利用题目所给的数据通过向量的标准化得到，本文的“模型的计算”中要分别加以计算。由于各种彩票方案的奖项、金额设置以及中奖概率和是已知的，所以利用模型一即可计算得到题中的所有方案的合理度，那么就可以知道提供的所有方案中那种方案最合理。

    （2）模型二

为了取得最合理彩票方案，要使得合理度的目标函数达到最大值，即

  （4）

在现实的彩票方案中，有以下的约束条件：

a．前面已经分析，彩票方案的中奖概率总和和彩票方案的发行类型、彩票总数码、中奖基本号码及特别号码的设置以及奖项的设置有关。所以不同类型中奖概率和应该是等因素的函数，即：

                                                      （5）

b．高项奖的奖金比例和为1，所以模型中

                                               （6）

c．部分彩民热衷彩票，其心态是基于特大奖（一等奖）的诱惑，为了能够吸引这一部分彩民，方案必须使得一等奖的奖金要占高项奖总金额的大部分，设一等奖的奖金比例的合理区间为，可知，通常，，所以

                                                             （7）

d．相应的，除一等奖以外的其他高项奖的奖金比例也在某一合理区间内，可表示为

                                           （8）

e．要提高彩票方案的吸引力，就要提高彩票方案的中奖概率和，其最直接的方法就是增加奖项I，每一个低项奖的奖金金额同样要处于某一合理区间，允许低项奖的奖金金额为0，表示相应彩票方案中不设置该奖项。

                                          （9）

f．高一等奖项肯定要比低一等奖项的奖金金额高，这是显然的，由于高项奖和低项奖的量纲不一样，分两种情况处理，即：

                                         （10）

g．模型一的假设，方案中奖项、奖金的设置以及中奖概率和与各因素对合理度的影响力存在以下关系：

                         （11）

综上所述，建立取得最合理彩票发行方案的目标规划模型：

  （12）

3．模型的求解

1）模型1的求解

根据前面建立的数学模型，我们可以得到确切的评价彩票方案合理度的目标函数：

    （13）

下面分别计算影响度和权重。

（1）计算影响度

就每一种因素设定一个标准值，将该种因素值和相应标准值的比值作为该种因素对彩票方案合理度目标函数的影响力，即

                          （14） 

利用向量的单位化就可以求得每一种因素中的各个值的影响力。

                                    （15）

其中，是维向量的长度。

根据上述公式，即可得到任一个因素的标准值，从而得到各种因素对合理度的影响力。

计算过程中对数据的统计：

a 分“传统型”和“乐透型”两种情况分别处理；

b 23组数据特殊，暂时取出不处理；

c 设总的奖项数为7，其中高项奖数为3，对于某些方案为设全7个低项奖的情况，视其最后的几个最低的未设的奖项奖金金额为0；

（2）用层次分析法计算权重，具体的算法如下所述：

a.在认真分析影响彩票方案合理度的各个直接因素（七种奖项）之间的关系后，我们建立彩票方案的递阶层次结构：

b.对同一层次的各个元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较判断矩阵。在构造两两比较判断矩阵的过程中，按1～9比例标度对重要性程度进行赋值。

下表给出1～9标度的含义:

表2   标度含义表

根据上述给出的标度含义表，对于任何一个准则，几个被比较元素通过两两比较就可以得到一个判断矩阵：

                                                             （16）

    其中，就是与相对于的重要性的比例标度。

c.根据得到的判断矩阵，我们采用“特征根法”来求解判断矩阵中被比较元素的排序权重向量。若矩阵的最大特征值对应的特征向量是，将所得到的经归一化后就是要求的权重向量。

    设表示第层上个元素相对于总目标的排序权重向量，用表示第层上个元素对第层上第个元素为准则的排序权重向量，其中不受元素支配的元素权重取为零。那么第层上元素对目标的总排序为：

                                    （17）

对于本模型而言，我们认为高项奖比中奖面稍稍重要，中奖面比除高项奖外的中项奖稍稍重要，中项奖比低项奖稍重要，依据上述的层次分析方法，计算得到如下各个层次下的判断矩阵和其对应的排序权重向量、一致性指标：

            表3   目标层的判断矩阵

表4   准则层的判断矩阵

表5   准则层的判断矩阵                         

C层对A的总排序可用下表计算得：

表6   合成排序

得到的即为影响彩票方案合理度的各因素的权重：

表7   各因素权重

根据多层一致性指标的计算方法

                                  （18）

利用上面求得的各个层次的一致性比例，得到，符合递阶层次结构在3层水平以上的所有判断具有整体满意一致性的标准，即所得的排序权重向量是合理的。

由此，我们已经得到了的值，那么就可以根据评价彩票方案合理度目标函数：

       （19）

分“传统型”和“乐透型”两种情况分别计算，在计算过程中，由于“传统型”的四种方案相差较小，单独对四种方案计算，无法得出结论，故在计算中加入“乐透型”的三种方案以协助计算。对不同类型的每一种方案，我们都可以计算出彩票方案的合理度，列表如下，然后根据合理度的大小来判断那种方案最优。

“传统型”：

表8   “传统型”各方案合理度

“乐透型”：

表9   “乐透型”各方案合理度

由表可知，对于“传统型”，4号方案最优，为6+1/10,其中一等奖比例为70%，二等奖比例为15%，三等奖比例为15%，四等奖奖金为300元，五等奖奖金为20元，六等奖奖金为5元 。

对于“乐透型”，7号方案最优，为7/30，一等奖比例为65%，二等奖比例为15%，三等奖比例为20%，四等奖奖金为500元，五等奖奖金为50元，六等奖奖金为15元，七等奖奖金为5元 。

另外从表可知，在基数一定的情况下（即值相同），“乐透型”彩票方案中“单项式”方案要比“复合式”方案更好。 

2）问题二的求解：

对模型二的求解，以问题一的求解结果为前提，每一种因素的权重、标准值分别为模型一中计算得到的，模型二的未知变量比较多，模型二的计算过程：

（1） 先要确定各个决策变量的合理浮动区间，如各奖项的奖金设置及中奖概率和的浮动区间，其浮动区间的设置存在认为主观因素的影响，即彩票发行部门有权对浮动区间的范围进行修改，本文先从提供的方案中总结各变量的大致浮动范围，如表10所示：

表10   变量浮动区间

[注]：根据实际情况，上述约束条件为离散序列,步进值在程序中体现。

（2） 利用穷举法，让从20到40，从3到8，步进为1，遍历上表中未知变量的浮动范围，以求得最大合理度，即最优彩票发行方案。因为有较多的未知变量，计算量非常大，所以将因素分为高项奖和低项奖进行分段遍历搜索：先固定低项奖的金额值，让高项奖金额比例浮动；然后固定计算得到的高项奖金额比例，计算低项奖的金额。这样可以大大地减少计算量，加快计算速度。

（3） 模型二的计算通过matlab编程实现，对于不同的变量浮动范围，该模型都可以很快的得到有最大合理度的方案。 

通过上述的计算过程，即可求得彩票发行的最优方案，如表所示 (抽奖方式同“乐透型单项式”方案)

表11   不同中奖面的最优方案

不同的彩票发行部门对表10中的浮动范围有不同的取舍，我们可以修改上表11中的变量浮动范围，求得不同的最优方案：改变中奖面的浮动范围，其他变量同表10，计算结果如表11所示，从表11可知：适当提高中奖面的浮动范围，彩票发行方案更合理。

由上述分析可知，基于彩票发行单位的不同要求，有不同的变量浮动范围，可得出不同的最优方案。变量的约束条件可根据彩票发行单位的意愿决定，该模型可以很快为彩票发行部门求得不同约束条件下的最优方案。

4．模型的优缺点及改进方向

优点： 

1) 本文模型充分考虑了影响彩票发行方案的各个因素，提出了合理度的值来映射彩票发行方案的合理性，计算结果显示了本文模型的合理性。

2) 本文利用层次分析法来计算各个因素对于合理度的权重，有效地减少了人为主观因素对模型的影响，得到了较为可信的权重值。

3) 对模型二的计算过程中，本文采用了分段搜索的方法，大大减少了计算量，很快计算出结果，所以利用本文的合理度优化模型，彩票发行中心可以根据主观愿望方便的修改各因素的浮动范围，很快地得到具体的彩票发行最优方案。

缺点：

由于缺乏某些现实统计数据的支持，使得人为主观因素在模型的建立计算过程中的影响显得较为关键，但是，我们利用向量标准化、层次分析法等科学方法有效地减少了人为主观因素的影响。如，计算权重过程中，一致性比例，符合递阶层次结构在3层水平以上的所有判断具有整体满意一致性的标准，即所得的排序权重向量是合理的。

模型的改进：

1) 每注彩票有其期望效益,依赖两个因素：(1)各个奖级的中奖概率，(2)各个奖级的奖金数额。则每注彩票的期望效益表示为：。因为单注彩票的价格为2元，彩票的奖金返还率为50%，所以，从总体上来说，每一注彩票的理论期望值应该是1元。那么，彩票方案的单注彩票期望效益越接近1说明该方案越合理，越吸引人。模型的设计最好将彩票的期望效益考虑进来，期望效益的计算需要各个奖级的奖金数额的大量数据，但我们不能在短时间之内取得相应的大量数据。在得到大量现实统计数据的前提下，建模考虑期望效益对方案合理度的影响，便可使得模型更加合理完善。

2) 彩民对号码数字的喜好程度不一样，如国内存在喜好“8”、“6”，厌恶“4”的情况，人为地造成每个数码在彩票中出现的不等概性。如果取得这些统计数据，建立的模型会更加合理。

参考文献

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