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从e谈开

已有 692 次阅读2011-2-5 23:15 |个人分类:数学小论文|

从e谈起

最近我也进入了自我放假小期，闲来无事，于是突然想总结总结一些相关问题，于是便写了这个帖子。当然，事先说明，这个帖子只供欣赏，讨论，但是不能能作为考研的相关参考，因为一些探讨的问题考研数学根本不可能涉及，但是，其思想对于考研来说还是很有帮助的。我个人崇尚数学思想优先的原则，所以，我认为，数学的根本还是在于思想，也就是所谓的方**了。废话也不多说，进入真题吧。

众所周知，e是我们高等数学里面常用的一个数，是自然对数的底。作为一个无理数和一个超越数，她从诞生以来就引起了无数的数学家为之奋斗，探索其内在的性质。今天这里就简单介绍一下这个神奇的e。

定义

一切数学的本源都是从公理上面建立，然后通过定义一些概念，进行严格的数学推导后得到庞大的数学体系。数学分析的公理是建立在实数理论上面，在这之上，便是定义的一些基本概念。其中e就是通过极限定义得来的。

对于这个命题，我们可以有哪些问题呢？！

首先得知道为什么这个极限是存在的，这里就牵扯到了实数7大互等定理中的一条：单调有界函数必有极限。顺着这个思想，我们可以继续往下提问。要证明这个数列存在极限，那么需要证明这个数列的单调性和有界性。于是，这里便出现了两个问题

问题一：证明数列单调。

问题二：证明数列有界

于是，就这两个问题，我们可以进行一番推导。

首先考虑证明数列的单调性。

在同济高等数学六版中，给出了一个将数列二项式展开的方式说明数列单调递增。这里不加解释给出书上的过程

对比一下通项就可以得出结论了

这里再给出一个用基本不等式的方法的推导

这里得回忆下曾经学过的几何平均值不大于代数平均值

利用这个不等式，于是有如下结论

单调性得证!!

还有人可能会提出利用导数的方法来研究这个数列的单调性，这里个人认为不严谨。首先，数列是离散点，不能求导。其次，即使转化成了对应函数表达式，利用导数仍是不严密的，因为无论指数还是对数函数的求导法则，都是建立在e的这个极限定义上的，如果发过来用它证明单调性，属于循环论证了。当然，仅仅就讨论这个数列的时候求导方法不太适用，不过研究其他函数单调性，导数仍旧是个强大工具。

然后考察有界性。

证法很典型，高中应该都有所接触。后面的放缩也是经典方法，两种思路。等比放缩和列项放缩。可以好好体会下。

下面对e的定义做一个延伸。

其实这个等式是不难看出是成立的，那么，为何又如此繁杂的定义了另一个e的雷同表达式呢？其实，不妨从后面的那个数列的单调性进行考察，就会发现，原来这个函数的单调性与之前的那个相反。下面是这两个数列对应函数的图形。可以直观的去感受下这两个数列的变化趋势。

两个函数交点在无穷远处于e。

是不是觉得很神奇啊，然后我们就可以放心大胆的得出一个显而易见的结论了！

这个形式也许少见，不过取对数后，大家就会渐渐清晰其本源了。

然后令x=1/n，就得到最常用的对数不等式！！

以前大家都是利用导数对这个对数不等式进行证明的，这里我们用初等的方法就得到了这个不等式，这是多么和谐美妙啊！！！

接下来是对e的另一种表达形式的证明

乍一看，大家都会觉得，这不是显然的嘛！泰勒公式展开然后令x=1。可是仔细想想，泰勒公式直接拿来做这个题目实在是有点不严密。具体原因不讨论。下面利用夹逼原理来分析这个题目。

当然，这个问题确实有一定难度。不过里面却也包含了不少数学思想方法。

这个式子的作用是在对e做近似计算的时候功能很强大，因为n!变化的很快，所以随着不断增加展开的项数，得到的精确度在大幅度上升。

那么，下面就讨论下这个方法的误差的一个级别吧。

证明：

此题证明方法有点超范围，用0//0型的Stolz定理

举这个例子只是想说明，也可以说是验证泰勒公式中对误差估计

当然，此时我们是从纯极限的角度去理解的。

下面给出误差基本不等式，由大数学家欧拉首先发现

证明很简单，但是却又富有一定的典型性，故给出

证明的过程简单明了，因为是不等式证明，故必有放缩，而放缩技巧神马的这里就不说了，因为这个得靠实战训练去体验。这个证明过程里面最好的一个地方就是充分利用之前的结论，把这个误差写成了无穷级数的形式，使得问题转化成了一个级数问题，在某些地方就体现出了一定的优越性。比如说对整个式子的放缩上有了一定的方向。此乃此题方法亮点！

有了这样一个基石，我们可以讨论下一个问题了。

证明：e是无理数。

看到这个题目，估计大家还是挺茫然的。一是因为我们接触这种问题很少，其次即使知道具体方法，也很难入手。不过，有了前面的问题的铺垫，在这里这个题目相对简化了许多。首先，我们想想以前如何证明根号二是无理数的。没错，方法就是反证法。于是，这个问题也是通过反证法来做的。